\(C^1_n+C^2_n=15\) (Điều kiện: \(n\ge2\))

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{2\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=15\)

\(\Leftrightarrow2n+n\left(n-1\right)=30\)

\(\Leftrightarrow2n+n^2-n=30\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-30=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=5\\n=-6\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{2}{x^4}\right)^5=C^k_5x^{5-k}\left(\dfrac{2}{x^4}\right)^k=C^k_5x^{5-k-4k}.2^k=C^k_5x^{5-5k}.2^k\)

\(ycbt\Leftrightarrow5-5k=0\Leftrightarrow k=1\)

\(\Rightarrow C^1_5.2^1=10\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(10\).

\(\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{\frac{3}{4}}\right)^{17}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^k\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{17-k}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^kx^{\frac{51}{4}-\frac{17}{12}k}\)

Số hạng thứ 13 \(\Rightarrow k=12\) là: \(C_{17}^{12}x^{-\frac{17}{4}}\)

b/ Xét khai triển:

\(\left(3-x\right)^n=C_n^03^n+C_n^13^{n-1}\left(-x\right)^1+C_n^23^{n-2}\left(-x\right)^2+...+C_n^n\left(-x\right)^n\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(2^n=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2+...+\left(-1\right)^nC_n^n\)

À, đến đây mới thấy đề thiếu, biết rằng cái kia làm sao hả bạn?

Đáp án A

Ta có  C n 2 - C n 1 = 44 ⇔ n ! n - 2 ! . 2 ! - n = 44 ⇔ n n - 1 2 - n = 44 ⇒ n = 11

Khi đó  x x + 1 x 4 n = x x + 1 x 4 11 = ∑ k = 0 11 C 11 k . ( x x ) 11 - k . 1 x ⁴ k = ∑ k = 0 11 C 11 k . ( x ) 3 2 ( 11 - k ) - 4 k .

a/ \(\frac{A^4_n}{A_{n+1}^3-C_n^{n-4}}=\frac{24}{23}\Rightarrow n=5\)

Khai triển \(\left(2-3x^2+x^3\right)^5\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_3=5\\2k_2+3k_3=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_3\right)=\left(1;3;1\right);\left(2;0;3\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^9\):

\(\frac{5!}{1!.3!.1!}.2^1.\left(-3\right)^3+\frac{5!}{2!.3!}.2^2.\left(-3\right)^0=-1040\)

b/ SHTQ của khai triển: \(\left(1+2x\right)^n\) là: \(C_n^k2^kx^k\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển tổng quát là \(C_n^32^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển của \(f\left(x\right)\): \(2^3.\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3\)

Tính tổng \(C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_5^4+C_5^3+...+C_{22}^3\)

\(=C_6^4+C_6^3+...+C_{22}^3=...=C_{23}^4\)

Vậy \(2^3\sum\limits^{22}_{n=3}C_n^3=2^3.C_{23}^4\)

Ta có:

\(2A_n^2=C_{n-1}^2+C_{n-1}^3\) \(\left(n\ge4\right)\)

\(\Rightarrow2\cdot\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}=\dfrac{\left(n-1\right)!}{2!\left(n-1-2\right)!}+\dfrac{\left(n-1\right)!}{3!\left(n-1-3\right)!}\)

\(\Rightarrow2\cdot n\left(n-1\right)=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{4}+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

\(\Rightarrow2n=\dfrac{n-2}{4}+\dfrac{\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)

\(\Rightarrow n=14\) hoặc \(n=0\left(loại\right)\)

Với n=14 ta có khai triển:

\(\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^{14}=\sum\limits^{14}_{k=0}\cdot C_{14}^k\cdot\left(x^2\right)^{14-k}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^k\)

                      \(=C_{14}^k\cdot x^{28-4k}\)

Số hạng không chứa x: \(\Rightarrow28-4k=0\Rightarrow k=7\)

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là:

\(C_{14}^7\cdot x^{28-4\cdot7}=C_{14}^7=3432\)