Question

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (\(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4}\))ⁿ, với x >0, nếu biết rằng \(C_n^2-C_n^1=44\)

Answer 1

\(C_n^2-C_n^1=44\Leftrightarrow\frac{n!}{\left(n-2\right)!.2}-\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=44\)

\(\Leftrightarrow\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n-44=0\Leftrightarrow n^2-3n-88=0\Rightarrow n=11\)

\(\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-4}\right)^{11}=\sum\limits^{11}_{k=0}C_{11}^k\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^k.\left(x^{-4}\right)^{11-k}\)

Số hạng tổng quát:

\(C_{11}^k\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^k.\left(x^{-4}\right)^{11-k}=C_{11}^kx^{\frac{3k}{2}-44+4k}=C_{11}^kx^{\frac{11k}{2}-44}\)

Số hạng ko chứa \(x\Rightarrow\frac{11k}{2}-44=0\Rightarrow11k=88\Rightarrow k=8\)

Vậy số hạng ko chứa x là \(C_{11}^8=165\)