Giải phương trình \(\left|x-2013\right|^{2013}+\left|x-2014\right|^{2014}=1\)
Giải phương trình: \(\left(2x^2+x-2014\right)^2+4\left(x^2-5x-2013\right)^2=4\left(2x^2+x-2014\right)\left(x^2-5x-2013\right)\)
Đặt \(a=2x^2+x-2014\) , \(b=x^2-5x-2013\)
thì \(a^2+4b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)
Thay vào được \(\left[\left(2x^2+x-2014\right)-2\left(x^2-5x-2013\right)\right]^2=0\)
\(\Leftrightarrow11x+2012=0\Leftrightarrow x=-\frac{2012}{11}\)
Giải phương trình:
a) \(x\left(\frac{5-x}{x+1}\right)\left(x+\frac{5-x}{x+1}\right)=6\)
b) \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
a) ĐKXĐ: \(x\ne-1\)
Phương trình tương đương: \(\dfrac{5x-x^2}{x+1}\left(x+\dfrac{5-x}{x+1}\right)=6\)
Đặt \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=t\) \(\Rightarrow t=\dfrac{5-x+x^2+x}{x+1}=\dfrac{x^2+5}{x+1}\)
\(\Rightarrow-t=\dfrac{-x^2-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5x-5}{x+1}=\dfrac{5x-x^2-5\left(x+1\right)}{x+1}\)
\(=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\)
\(\Rightarrow-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}-5\Rightarrow5-t=\dfrac{5x-x^2}{x+1}\)
Vậy Phương trình trở thành: \(\left(5-t\right)t=6\Leftrightarrow t^2-5t+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0\)
Khi t=2 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-2x+3=0\) (vô nghiệm)
Khi t=3 thì \(x+\dfrac{5-x}{x+1}=3\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)\(\)
a) \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
\(\Leftrightarrow\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7=1\)
Dễ dàng thấy \(x=2013\) hoặc \(x=2014\) là các nghiệm của phương trình.
Nếu \(x>2014\) khi đó \(\left|x-2013\right|^5>\left|2014-2013\right|^5>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\) .
Vì vậy mọi \(x>2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(x< 2013\) khi đó \(\left|x-2014\right|^7>\left|2013-2014\right|^7>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\).
Vì vậy mọi \(x< 2013\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(2013< x< 2014\) khi đó:
\(\left|x-2013\right|< 1,\left|x-2014\right|< 1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< \left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\).
Ta xét tập giá trị của \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\) với \(2013< x< 2014\).
Khi đó \(x-2013>0,x-2014< 0\).
Vì vậy \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|=x-2013+x-2014=1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< 1\).
vậy mọi x mà \(2013< x< 2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có hai nghiệm là \(x=2013,x=2014\).
cho \(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\) tính \(A=x^{2014}-y^{2014}+1\)
Ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2013}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)
\(\Leftrightarrow-2013\left(y+\sqrt{y^2+2013}\right)=2013\left(x-\sqrt{x^2+2013}\right)\)
\(\Leftrightarrow-y-\sqrt{y^2+2013}=x-\sqrt{x^2+2013}\)
⇔\(x+y=\sqrt{x^2+2013}-\sqrt{y^2+2013}\)(1)
Nhân liên hợp tương tự nhân \(y-\sqrt{y^2+2013}\)vào hai về rút được
\(x+y=\sqrt{y^2+2013}-\sqrt{x^2+2013}\)(2)
Cộng vế theo vế (1)(2) ta được \(x+y=0\Rightarrow x=-y\)
Thay vào \(A=\left(-y\right)^{2014}-y^{2014}+1=1\)
giải pt: \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7=1\)
Lời giải:
Ta có:
\(|x-2013|^5+|x-2014|^7=1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|^5=1-|x-2014|^7\leq 1\\ |x-2014|^7=1-|x-2013|^5\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|\leq 1\\ |x-2014|\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x-2013\leq 1\\ -1\leq x-2014\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2012\leq x\leq 2014\\ 2013\leq x\leq 2015\end{matrix}\right.\) hay \(2013\leq x\leq 2014\)
Nếu \(x=2013, x=2014\): thử vào pt ban đầu thấy đều thỏa mãn.
Nếu \(2013< x< 2014\)
\(\Rightarrow |x-2013|=x-2013; |x-2014=2014-x\)
Đặt \(x-2013=a\).
PT trở thành
\((x-2013)^5+(2014-x)^7=1\)
\(\Leftrightarrow a^5+(1-a)^7=1\)
\(\Leftrightarrow (a^5-1)+(1-a)^7=0\)
\(\Leftrightarrow (a-1)[a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6]=0\)
Vì \(2013< x< 2014\Rightarrow 0< a< 1\).
\(\Rightarrow a-1< 0\) hay \(a-1\neq 0\)
Suy ra \(a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6=0\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^3+a^2+a+1=(a-1)^6(*)\)
Ta thấy \(0< a<1 \Rightarrow \text{VT}>1\)
\(0< a< 1\Rightarrow -1< a-1< 0\Rightarrow (a-1)^6< 1\Leftrightarrow \text{VP}<1\)
(*) không xảy ra.
Vậy PT có nghiệm \(x\in \left\{2013; 2014\right\}\)
\(A=\frac{\left(1-2\right).\left(1+2\right)}{2^2}.\frac{\left(1-3\right).\left(1+3\right)}{3^2}.......\frac{\left(1-2013\right).\left(1+2013\right)}{2013^2}.\frac{\left(1-2014\right).\left(1+2014\right)}{2014^2}\)
Tính
\(A=\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+1\right)\left(\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}\right)-\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}\right)\left(\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}+1\right)\)
Đặt \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}=B;\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}=C\)
\(A=\left(B+1\right)\cdot C-B\cdot\left(C+1\right)\)
\(=BC+C-BC-B\)
=C-B
\(=\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2013}{2014}-\dfrac{2015}{2016}=-\dfrac{1}{10}\)
\(A=\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+1\right)\left(\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}\right)-\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}\right)\left(\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac{1}{10}+1\right)\)
tất nhên là bằng 00000000000000000000000000000000000000
giải các phương trình sau :
a ) \(x\left(\dfrac{5-x}{x+1}\right)\left(x+\dfrac{5-x}{x+1}\right)=6\)
b ) \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
Giải phương trình:
\(\frac{2013x+2013}{x^2+x+1}\)- \(\frac{2013x-2013}{x^2-x+1}\)= \(\frac{2014}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\)
Quy đồng vế trái ta có
\(\frac{4026}{x^4+x^2+1}=\frac{2014}{x.\left(x^4+x^2+1\right)}\)
Lại quy đồng 2 vế ta được
\(\frac{4026.x}{x.\left(x^4+x^2+1\right)}=\frac{2014}{x.\left(x^4+x^2+1\right)}\)
Suy ra: 4026.x =2014
<=>\(x=\frac{2014}{4026}\)
rút gọn là xong.OK?