Tìm đa thức f(x) biết 3f(x)+f(2-x)=x², x∈R

Cho phương trình: (m-1)x²-2(m-1)x-m=0

a, Giải phương trình khi m=2

b, Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó

c, Tìm m để phương trình có nghiệm

Cho tam giác ABC. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE và ABF. Chứng minh

a, Ba đường tròn ngoại tiếp 3 tam giác đều nói trên cùng đi qua 1 điểm

b, 3 đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua 1 điểm

c, Ba đoạn thẳng AD, BE, CF bằng nhau

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia Cx nằm giữa 2 tia CA và CB. Vẽ đường tròn (O) có O thuộc cạnh AB, tiếp xúc với cạnh CB tại M và tiếp xúc với tia Cx tại N. Chứng minh rằng

a, Tứ giác MONC nội tiếp

b, \(\widehat{AON}=\widehat{ACN}\)

c, Tia AO là phân giác của \(\widehat{MAN}\)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Lấy điểm C cố định thuộc nửa đường tròn. Trên cung AC lấy điểm M bất kì, kẻ MH⊥AB tại H. Gọi K là giao điểm của AC và MH, E là giao điểm của MB và CA. CMR

a, Tứ giác BHCK nội tiếp

b, Tam giác AIK đồng dạng với tam giác ACB

c, AK.AC = AM²

d, AE.AC + BE.BM luôn có giá trị không đổi khi M di chuyển trên cung AC

Cho tam giác ABC (AB<AC) có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại M, tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là D. Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AD, tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là F. CMR:

a, Tứ giác OBMC nội tiếp

b, MB²=MD.MA và\(\widehat{MOC}=\widehat{MEC}\)

c, BF//AM

Trên đường tròn (O) có đường kính AB=2R, lấy 1 điểm C sao cho AC=R và lấy điểm D bất kì trên cung nhỏ BC (D không trùng với B và C). Gọi E là giao điểm của AD và BC. Đường thẳngđi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng AB tại điểm H cắt tia AC tại điểm F. Điểm M là trung điểm EF

a, CM tứ giác BHCF nội tiếp

b, CM HA.HB=HE.HF

c, CM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d, Xác định vị trí của điểm D để chu vi tứ giác ABDC lớn nhất

Cho 4 điểm A, B, C và D theo thứ tự trên đường tròn (O) sao cho số đo các cung cung như sau sđAB=40°, sđCD=120°. Gọi I là giao điểm của AC và BD. M là giao điểm của DA và CB kéo dài. Tính các góc CID và AMB