Lời giải:
Ta có:
\(|x-2013|^5+|x-2014|^7=1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|^5=1-|x-2014|^7\leq 1\\ |x-2014|^7=1-|x-2013|^5\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2013|\leq 1\\ |x-2014|\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -1\leq x-2013\leq 1\\ -1\leq x-2014\leq 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2012\leq x\leq 2014\\ 2013\leq x\leq 2015\end{matrix}\right.\) hay \(2013\leq x\leq 2014\)
Nếu \(x=2013, x=2014\): thử vào pt ban đầu thấy đều thỏa mãn.
Nếu \(2013< x< 2014\)
\(\Rightarrow |x-2013|=x-2013; |x-2014=2014-x\)
Đặt \(x-2013=a\).
PT trở thành
\((x-2013)^5+(2014-x)^7=1\)
\(\Leftrightarrow a^5+(1-a)^7=1\)
\(\Leftrightarrow (a^5-1)+(1-a)^7=0\)
\(\Leftrightarrow (a-1)[a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6]=0\)
Vì \(2013< x< 2014\Rightarrow 0< a< 1\).
\(\Rightarrow a-1< 0\) hay \(a-1\neq 0\)
Suy ra \(a^4+a^3+a^2+a+1-(a-1)^6=0\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^3+a^2+a+1=(a-1)^6(*)\)
Ta thấy \(0< a<1 \Rightarrow \text{VT}>1\)
\(0< a< 1\Rightarrow -1< a-1< 0\Rightarrow (a-1)^6< 1\Leftrightarrow \text{VP}<1\)
(*) không xảy ra.
Vậy PT có nghiệm \(x\in \left\{2013; 2014\right\}\)
