1.

Ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b}{b+ca\left(c^2+a^2\right)}+\frac{c}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+abc\left(b^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{b^2+abc\left(a^2+c^2\right)}+\frac{c^2}{c^2+abc\left(a^2+b^2\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

9999999999999

 a) Áp dụng định lý Py - ta - go  vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\)

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=3^2+3^2\Rightarrow BC=3\sqrt{2}cm=18\left(cm\right)\)

b) Áp dụng định lý Py - ta - go  vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\)ta có :

\(BC^2+AB^2+AC^2\)

\(BC^2=4^2+6^2\)

\(BC=28\left(cm\right)\)

c) Áp dụng định lý Py - ta - go  vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\), ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2=BC^2=5^2+3^2\Rightarrow BC=25+9=34\left(cm\right)\)

d) Áp dụng định lý Py - ta - go  vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\)ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2=BC^2=5^2+5^2=5\sqrt{2}=50\left(cm\right)\)

a)\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}+c^2-c+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)

\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{2}>\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)

c)\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)

Khi a=b

Bài 1: Dễ ợt bn ơi !!!!

Bài 2: Ta có

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a^2}{4}=\frac{b^2}{9}=\frac{2c^2}{32}\)  và a^2-b^2+2c^2 .....           Từ đó bn áp dụng t/c dãy tỉ số = nhau mà làm nhá...

Chúc bn học tốt

Gọi độ dài 3 cạnh lần lượt là a,b,c 

Theo đề bài ta có :

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{2+4+5}=\frac{22}{11}=2\)

\(\Rightarrow\)\(a=2.2=4\)

\(b=2.4=8\)

\(c=2.5=10\)

Vậy độ dài các cạnh lần lượt là 4 cm ; 8 cm ; 10 cm

2)  Theo đề bài ta có :

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\)và \(a^2-b^2+2c^2=108\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{a^2-b^2+2c^2}{4-9+32}=\frac{108}{27}=4\)

\(\Rightarrow\)\(a=4.2=8\)

\(b=4.3=12\)

\(c=4.4=16\)

Vậy a = 8 ; b = 12 ; c = 16

Cảm ơn bạn

Bài 1:

Chiều thuận:\(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\)

Giả sử cả \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\). Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 thì dư $0$ hoặc $1$.

Do đó nếu \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 3; y^2\equiv 1\pmod 3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv 2\pmod 3\) (trái với giả thiết )

Suy ra ít nhất một trong 2 số $x,y$ chia hết cho $3$

Giả sử $x\vdots 3$ \(\Rightarrow x^2\vdots 3\). Mà \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow y^2\vdots 3\Rightarrow y\vdots 3\)

Vậy \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x,y\vdots 3\)

Chiều đảo:

Ta thấy với \(x\vdots 3, y\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (đpcm)

Vậy ta có đpcm.

Bài 2: > chứ không \(\geq \) nhé, vì khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) thì cả 3 BĐT đều đúng.

Phản chứng, giả sử cả 3 BĐT đều đúng

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(1-b)> \frac{1}{4}\\ b(1-c)> \frac{1}{4}\\ c(1-a)>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{4^3}(*)\)

Theo BĐT AM-GM thì:

\(a(1-a)\leq \left(\frac{a+1-a}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

\(b(1-b)\leq \left(\frac{b+1-b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

\(c(1-c)\leq \left(\frac{c+1-c}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4^3}\) (mâu thuẫn với $(*)$)

Do đó điều giả sử là sai, tức là trong 3 BĐT trên có ít nhất một BĐT đúng.

Bài 3:

$n=2$ thỏa mãn 2 số trên đều là nguyên tố nhé.

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2^n-1=p\\ 2^n+1=q\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow pq=(2^n-1)(2^n+1)=2^{2n}-1=4^n-1\)

Vì \(4\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 4^n\equiv 1^n\equiv 1\pmod 3\)

\(\Rightarrow 4^n-1\vdots 3\Rightarrow pq\vdots 3\Rightarrow \left[\begin{matrix} p\vdots 3\\ q\vdots 3\end{matrix}\right.\)

Nếu $p\vdots 3$ thì $p=3$

\(\Rightarrow 2^n-1=3\Rightarrow 2^n=4\Rightarrow n=2\)

\(\Rightarrow 2^n+1=2^2+1=5\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)

Nếu $q\vdots 3$ thì $q=3$ \(\Rightarrow 2^n+1=3\Rightarrow 2^n=2\Rightarrow n=1\)

\(\Rightarrow p=2^n-1=2^1-1=1\not\in\mathbb{P}\) (loại trừ)

Vậy $n=2$ vẫn thỏa mãn 2 số trên đều là số nguyên tố nhé.

Ta có: \(\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1\)

\(=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}a-1\ge\frac{3}{4}a-1\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\left(b-1\right)^3\ge\frac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\frac{3}{4}c-1\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\frac{3}{4}\cdot3-3=-\frac{3}{4}\)