1. Cho x,y ∈ Z. Cm x2+y2 ⋮ 3 ⇔ x ⋮ 3 và y ⋮ 3
2. Cho 0 < a <1, 0 < b <1, 0 < c <1. Cmr trong các bất đẳng thức sau có ít nhất 1 bất đẳng thức sai
a(1-b) ≥ 1/4
b(1-c) ≥ 1/4
c(1-a) ≥ 1/4
3. Cho n ∈ N Cm 2n-1 và 2n+1 không đồng thời là số nguyên tố
4. Cho a,b,c ∈ R thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c>0\\ab+bc+ac>0\\abc>o\end{matrix}\right.\) CM a>0, b>0, c>0
Bài 1:
Chiều thuận:\(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x\vdots 3; y\vdots 3\)
Giả sử cả \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\). Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 thì dư $0$ hoặc $1$.
Do đó nếu \(x\not\vdots 3, y\not\vdots 3\Rightarrow x^2\equiv 1\pmod 3; y^2\equiv 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv 2\pmod 3\) (trái với giả thiết )
Suy ra ít nhất một trong 2 số $x,y$ chia hết cho $3$
Giả sử $x\vdots 3$ \(\Rightarrow x^2\vdots 3\). Mà \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow y^2\vdots 3\Rightarrow y\vdots 3\)
Vậy \(x^2+y^2\vdots 3\Rightarrow x,y\vdots 3\)
Chiều đảo:
Ta thấy với \(x\vdots 3, y\vdots 3\Rightarrow x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (đpcm)
Vậy ta có đpcm.
Bài 2: > chứ không \(\geq \) nhé, vì khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) thì cả 3 BĐT đều đúng.
Phản chứng, giả sử cả 3 BĐT đều đúng
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(1-b)> \frac{1}{4}\\ b(1-c)> \frac{1}{4}\\ c(1-a)>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a(1-a)b(1-b)c(1-c)> \frac{1}{4^3}(*)\)
Theo BĐT AM-GM thì:
\(a(1-a)\leq \left(\frac{a+1-a}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(b(1-b)\leq \left(\frac{b+1-b}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(c(1-c)\leq \left(\frac{c+1-c}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow abc(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1}{4^3}\) (mâu thuẫn với $(*)$)
Do đó điều giả sử là sai, tức là trong 3 BĐT trên có ít nhất một BĐT đúng.
Bài 3:
$n=2$ thỏa mãn 2 số trên đều là nguyên tố nhé.
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2^n-1=p\\ 2^n+1=q\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow pq=(2^n-1)(2^n+1)=2^{2n}-1=4^n-1\)
Vì \(4\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 4^n\equiv 1^n\equiv 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow 4^n-1\vdots 3\Rightarrow pq\vdots 3\Rightarrow \left[\begin{matrix} p\vdots 3\\ q\vdots 3\end{matrix}\right.\)
Nếu $p\vdots 3$ thì $p=3$
\(\Rightarrow 2^n-1=3\Rightarrow 2^n=4\Rightarrow n=2\)
\(\Rightarrow 2^n+1=2^2+1=5\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)
Nếu $q\vdots 3$ thì $q=3$ \(\Rightarrow 2^n+1=3\Rightarrow 2^n=2\Rightarrow n=1\)
\(\Rightarrow p=2^n-1=2^1-1=1\not\in\mathbb{P}\) (loại trừ)
Vậy $n=2$ vẫn thỏa mãn 2 số trên đều là số nguyên tố nhé.
Bài 4:
Vì \(abc>0\) nên xảy ra 2 TH
TH1: Cả 3 số đều dương, hoàn toàn t/m với 2 điều kiện còn lại (đpcm)
TH2: 2 số âm, 1 số dương.
Không mất tổng quát, giả sử \(a<0 ; b< 0; c> 0\)
\(\Rightarrow a+b< 0\)
Khi đó: \(a+b+c>0\Rightarrow -(a+b)< c\)
\(\Rightarrow -(a+b)^2> c(a+b) \) (nhân 2 vế với số âm thì BĐT đổi dấu)
\(\Rightarrow ab-(a+b)^2> ab+bc+ac\)
Mà \(ab-(a+b)^2=-a^2-b^2-ab=-[(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2]< 0, \forall a,b< 0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac< ab-(a+b)^2< 0\) (vô lý)
Vậy chỉ có TH1 xảy ra, tức là $a,b,c> 0$
