bổ xung định lý thứ 5

f(x)>=0 hoặc g(x)>=0 và f(x)=g(x)

@alibaba nguyễn : Giúp với ông ei :) Chắc ông cũng học đến cái này r :))

Ta có \(f\left(1\right)=g\left(2\right)\)

hay \(2.1^2+a.1+4=2^2-5.2-b\)

           \(2+a+4\)    \(=4-10-b\)

           \(6+a\)          \(=-6-b\)

          \(a+b\)           \(=-6-6\)

          \(a+b\)           \(=-12\)                    \(\left(1\right)\)

Lại có \(f\left(-1\right)=g\left(5\right)\)

hay \(2.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+4=5^2-5.5-b\) 

                 \(2-a+4\)          \(=25-25-b\)

                \(6-a\)                 \(=-b\)

              \(-a+b\)                \(=-6\)

                 \(b-a\)                \(=-6\)

                 \(b\)                      \(=-b+a\)                       \(\left(2\right)\)

Thay \(\left(2\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta được:

   \(a+\left(-6+a\right)=-12\)

   \(a-6+a\)      \(=-12\)

      \(a+a\)         \(=-12+6\)

        \(2a\)            \(=-6\)

         \(a\)             \(=-6:2\)

         \(a\)             \(=-3\)

Mà \(a=-3\) 

⇒ \(b=-6+\left(-3\right)=-9\)

Vậy \(a=3\) và \(b=-9\)

Cái Vậy \(a=3\) và \(b=-9\) bạn ghi là \(a=-3\) và \(b=-9\) nha mk quên ghi dấu " \(-\) "

Đầu tiên ta để ý rằng hàm trên và hàm dưới đều có dạng rất giống nhau, biểu thức x trong ngoặc đầu tiên cộng 2 lần biểu thức x trong ngoặc thứ 2 đều bằng 1, do đó ta tìm cách đưa hàm pt 2 về dạng của hàm pt 1:

Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=2t-1\Rightarrow x=2tx-x+2t-1\Rightarrow x\left(2-2t\right)=2t-1\Rightarrow x=\dfrac{2t-1}{2-2t}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{1-t}+2}=1-t\) \(\left(t\ne1\right)\)

\(\Rightarrow\) pt dưới trở thành \(f\left(2t-1\right)+2g\left(1-t\right)=3\) hay \(f\left(2x-1\right)+2g\left(1-x\right)=3\)

Ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(2x-1\right)+g\left(1-x\right)=x+1\\f\left(2x-1\right)+2g\left(1-x\right)=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(1-x\right)=2-x=1+1-x\\f\left(2x-1\right)=2x-1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ pt là \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x\\g\left(x\right)=x+1\end{matrix}\right.\)

a/ \(f'\left(x\right)=12sin^33x.cos3x\)

\(f'\left(x\right)=g\left(x\right)\Leftrightarrow12sin^33x.cos3x=sin6x\)

\(\Leftrightarrow6sin^23x.2sin3x.cos3x-sin6x=0\)

\(\Leftrightarrow6sin^23x.sin6x-sin6x=0\)

\(\Leftrightarrow sin6x\left(6sin^23x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sin6x=0\\sin^23x=\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin6x=0\\\frac{1-cos6x}{2}=\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin6x=0\\cos6x=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}6x=k\pi\\6x=a+k2\pi\\6x=-a+k2\pi\end{matrix}\right.\) với \(cosa=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{k\pi}{6}\\x=\frac{a}{6}+\frac{k\pi}{3}\\x=-\frac{a}{6}+\frac{k\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

b/

\(f'\left(x\right)=6sin^22x.cos2x=4cos2x-5sin4x\)

\(\Leftrightarrow6sin^22x.cos2x=4cos2x-10sin2x.cos2x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\3sin^22x=2-5sin2x\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow3sin^22x+5sin2x-2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sin2x=\frac{1}{3}\\sin2x=-2< -1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow sin2x=sina\) (với \(sina=\frac{1}{3}\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=a+k2\pi\\2x=\pi-a+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{a}{2}+k\pi\\x=\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)

c/

\(f'\left(x\right)=4x.cos^2\frac{x}{2}-2x^2.cos\frac{x}{2}.sin\frac{x}{2}=2x\left(1+cosx\right)-x^2sinx\)

\(f'\left(x\right)=g\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow2x\left(1+cosx\right)-x^2sinx=x-x^2sinx\)

\(\Leftrightarrow2x\left(1+cosx\right)=x\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2\left(1+cosx\right)=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow cosx=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Chọn B

B

B

\(f\left(-2\right)-f\left(1\right)=\left(-2\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-2\right)}-\left(1^2+2+\sqrt{2-1}\right)\) \(=8-4=4\).
\(f\left(-7\right)-g\left(-7\right)=\left(-7\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-7\right)}-\left(-2.\left(-7\right)^3-3.\left(-7\right)+5\right)=-658\)