Bpt \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left|x-1\right|+m-1\ge0;\forall x\)

Đặt \(t=\left|x-1\right|;t\ge0\)

Bpttt: \(t^2+t+m-1\)\(\ge0\) (1)

Để bpt có tập nghiệm là R khi (1) có nghiệm với mọi \(t\ge0\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2+t-1+m;t\ge0\) có đỉnh \(I\left(-\dfrac{1}{2};f\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)\)

\(\Rightarrow\) Hàm \(f\left(t\right)\) đồng biến trên \([0;+\infty)\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\ge0\)\(\Leftrightarrow\min\limits f\left(t\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow f\left(0\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow-1+m\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

Vậy...

\(\Leftrightarrow\dfrac{mx^2-5x+m-4}{mx^2-4x+m-3}>0\)

BPT đã cho có tập nghiệm là R khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=25-4m\left(m-4\right)< 0\\\Delta'_2=4-m\left(m-3\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m^2+16m+25< 0\\-m^2+3m+4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{4-\sqrt{41}}{2}\\m>\dfrac{4+\sqrt{41}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(y'=x^2-2mx+m\)

\(y'\ge0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m^2-m\le0\Leftrightarrow0\le m\le1\)

Tìm m để phương trình có tập nghiệm là R

1 ≤ \(\dfrac{3x^2-mx+5}{2x^2-x+1}\)

⇔ 3x² - mx + 5 ≥ 2x² - x + 1

 ⇔ x² + (1 - m)x + 4 ≥ 0

⇔ x² - (m - 1)x + 4 ≥ 0

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\ge0\end{matrix}\right.\) (a là hệ số bậc 2)

⇔ m² - 2m + 1 - 4.4 ≥ 0

⇔ m² - 2m - 15 ≥ 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge5\end{matrix}\right.\)

Khai bút sớm dữ !!! Chúc bạn năm nay học giỏi gấp 3,14 lần năm ngoái nha