Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng:\(\left(a^2-bc\right)^3+\left(b^2-ca\right)^3+\left(c^2-ab\right)^3\ge3\left(a^2-bc\right)\left(b^2-ca\right)\left(c^2-ab\right)\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)
\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)
=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x
Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)
và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)
cho a,b,c . chứng minh \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
Phản ví dụ: \(a=b=c=1\Rightarrow8\ge27\)
Chứng minh rằng: với mọi a;b;c
\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\ge3+\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Với a,b,c >0 và không hai số nào bằng nhau. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)}{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{\Sigma_{cyc}a^3\left(b-c\right)}{\Sigma_{cyc}a^2\left(b-c\right)}=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Phùng Minh Quân BĐT cuối: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) xảy ra khi a = b = c thì cái mẫu thức: \(\Sigma_{cyc}a^2\left(b-c\right)=0\) vô lí!
lười ghi dấu "=" ko xảy ra :)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c thì
\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có :
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+2\right)\left[1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]\)
Tiếp theo ta chứng minh \(3\left[1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right]\le\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)
Thật vậy, \(bpt\Leftrightarrow6+3b^2+3c^2+6bc\le2b^2c^2+4b^2+4c^2+8\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2+2b^2c^2-6bc+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b^2-bc+c^2\right)+2\left(bc-1\right)^2\ge0\) (Đúng)
Vậy thì \(3\left(a+b+c\right)^2\le\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\) (đpcm)
trên diendantoanhoc.net có bài này giải kiểu cô Hoàng Thị Thu Huyền nhưng ko chỗ bđt bunhiacopxki
Khi thử đổi biến chứng minh Iran 96 và cái kết.... Mà chả biết lúc đổi biến có tính sai chỗ nào ko mà kết quả nó nhìn khủng khiếp quá:(
Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\)
Cần chứng minh
\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow v^2\left(\left(3v^2+a^2\right)^2+\left(3v^2+b^2\right)^2+\left(3v^2+c^2\right)^2\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)
\(\Leftrightarrow v^2\left(27v^4+6v^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)
\(\Leftrightarrow v^2\left(27v^4+6v^2\left(9u^2-6v^2\right)+a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)
\(\Leftrightarrow v^2\left(27v^4+6v^2\left(9u^2-6v^2\right)+81u^4-108u^2v^2+18v^4+12uw^3\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)
\(\Leftrightarrow135u^4v^2-144u^2v^4+12uv^2w^3-27uv^2+45v^6+3w^3\ge0\)
thấy mẹ nhầm rồi, quy đồng quên nhân:(( mai rảnh check lại:((
1. Cho a > b > 0 .Chứng minh rằng :
\(a,a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
\(b,a+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
\(c,a+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\)
Bạn tham khảo:
Chứng minh rằng với \(\forall a;b;c\)ta có:
\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
Bài này bản hỏi 2 lần. Bạn tham khảo ở đây nhé.
Câu hỏi của pham trung thanh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath