a, HS tự chứng minh

b, ΔCOD và ΔAMB đồng dạng => MC.MD =  O M 2

c, AC = R 3

BD.AC = MC.MD =  O M 2

=> BD =  R 3 3

Hướng dẫn, ghét hình học phẳng:

Để ý rằng AB vuông góc (M) tại H nên AH, BH cũng là các tiếp tuyến của (M)

- Nối MA, MB

- \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên suy ra...

- AH, AC là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)

Tương tự: \(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)

\(\Rightarrow\widehat{CMD}=2\left(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}\right)\)

b. AC, AH, BD, BH là các tiếp tuyến nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC=AH\\BD=BH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC+BD=...\)

c.

AC song song BD (cùng vuông CD), O và M lần lượt là trung điểm AB, CD 

\(\Rightarrow OM\) là đtb hình thang vuông ABDC \(\Rightarrow OM\) vuông CD

Hệ thức lượng tam giác vuông OMK: \(OM^2=OH.OK\)

Mà \(OM=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow...\)

a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: ˆMAO=ˆMCO=900⇒MAO^=MCO^=900⇒ AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.

ˆADB=900ADB^=900 góc nội tiếp chắn nửa đường  tròn) ⇒ˆADM=900⇒ADM^=900 (1)

Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC

⇒ˆAEM=900⇒AEM^=900 (2). 

Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.

b)  Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ˆADE=ˆAME=ˆAMOADE^=AME^=AMO^ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3)

Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: ˆAMO=ˆACOAMO^=ACO^(góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4).

Từ (3) và (4) suy ra ˆADE=ˆACOADE^=ACO^

c) Tia BC cắt Ax tại N. Ta có ˆACB=900ACB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ˆACN=900⇒ACN^=900, suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5).

Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì ICMN=IHMA(=BIBM)ICMN=IHMA(=BIBM) (6).

Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.

Để giải quyết bài toán này, ta sử dụng định lí Menelaus và định lí Stewart.

Bước 1: Chứng minh AD/AC + AM/AN = 3.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AGC với đường thẳng cắt AC, ID, MG, ta có:

$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{DN}{NC} \cdot \dfrac{CG}{GA} = 1$

Do $CG = 2 \cdot GA$ và $DN = AN - AD = AN - 2\cdot AI$, ta có thể đưa về dạng:

$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AN-2\cdot AI}{NC} = \dfrac{1}{2}$

Từ định lí Stewart, ta có $4\cdot AI\cdot DI + AD^2 = 3\cdot ID^2$, do đó $ID = \dfrac{AD}{\sqrt{3}}$.

Thay vào phương trình trên, ta được:

$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AN-AD}{NC} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Tương đương với:

$\dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AD}{NC} + \dfrac{IM}{MD} \cdot \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{AD}{NC}$

Từ đó suy ra:

$\dfrac{AM}{AN} + \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{3}{\sqrt{3}}$

Do đó:

$\dfrac{AD}{AC} + \dfrac{AM}{AN} = 3$ (Đpcm)

Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = AH và BD = BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH

Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi

a) Ta thấy do AC, AH là tiếp tuyến qua A của đường tròn tâm M nên theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \(\widehat{CMA}=\widehat{AMH}\)

Tương tự \(\widehat{DMB}=\widehat{HMB}\)

Mà do M thuộc đường tròn tâm O nên \(\widehat{AMB}=90^o\Rightarrow\widehat{AMH}+\widehat{HMB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CMD}=2.90^o=180^o\) hay C, M, D thẳng hàng.

Khi đó ACDB là hình thang, có OA = OB, MC = MD nên OM là đường trung bình. Vậy OM// DB hay OM vuông góc với CD tại M.

Nói các khác, M, C, D thuộc tiếp tuyến của (O) tại M.

b) Ta thấy theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì AC = AH, BD = BH nên AC + BD = AH + HB = AB = 2R (không đổi)

Ta thấy CD = 2MH

Xét tam giác vuông AMB, theo hệ thức lượng ta có: AH.HB = MH²

Vậy nên \(AC.BD=\left(\frac{CD}{2}\right)^2=\frac{CD^2}{4}\)

c) Xét tam giác KMO vuông tại M, áp dụng hệ thức lượng ta có: OH.OK = MO² 

Mà OM = OA = OB nên OH.OK = OA² = OB². 

a/

Ta có (M) tiếp xúc với AB tại H (gt) => AB là tiếp tuyến với (M)

Xét tg vuông ACM và tg vuông AHM có

AM chung

MC=MH (bán kính (M))

=> tg ACM = tg AHM (Hai tg vuông vó cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)

C/m tương tự khi xét 2 tg vuông BDM và BHM ta cũng có

\(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)

Ta có 

\(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}=\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}+\widehat{AMB}=90^o+90^o=180^o=\widehat{CMD}\)

=> C; M; D thẳng hàng

Ta có

\(AC\perp CD;BD\perp CD\) => AC//BD

b/ Ta có

AC//BD (cmt) => ACDB là hình thang

Mà

MC=MD (bán kính (M)

OA=OB=R

=> OM là đường trung bình của hình thang ACDB => OM//BD

Mà \(BD\perp CD\)

\(\Rightarrow OM\perp CD\) => CD là tiếp tuyến với (O)

c/

Ta có

AC=AH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)

BD=BH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)

\(\Rightarrow AC+BD=AH+BH=AB=2R\) không đổi

d/

Khi HC=HD => tg AHD cân tại H

Ta có MC=MD

\(\Rightarrow MH\perp CD\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Mà \(OM\perp CD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow H\equiv O\) 

Xét tg AMB có

\(MH\perp AB\Rightarrow MO\perp AB\)

Mà OA=OB

=> tg AMB cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

=> MA=MB => sđ cung MA = sđ cung MB (trong đường tròn 2 dây cung bằng nhau thì số đo 2 cung tương ứng bằng nhau)

=> M là điểm giưa cung AB

a: Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến

=>MA=MC

mà OA=OC

nên MO là trung trực của AC

=>MO vuông góc AC tại E

góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>AD vuông góc MB

góc ADM=góc AEM=90 độ

=>AMDE nội tiếp

b: ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao

nên MA^2=MD*MB