Question

Cho nửa đường tròn(O) đường kính AB. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn(M khác A và M khác B). Vẽ đường tròn(M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B lần lượt vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với (M)(C,D là hai tiếp điểm)a) Chứng minh C,M,D thẳng hàngb) Chứng minh tổng AC+BD luôn không đổi khi M∈(O)c) CD và AB cắt nhau tại K. Chứng minh \(OH\cdot OK=\dfrac{AB^2}{4}\)

Answer 1

Hướng dẫn, ghét hình học phẳng:

Để ý rằng AB vuông góc (M) tại H nên AH, BH cũng là các tiếp tuyến của (M)

- Nối MA, MB

- \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên suy ra...

- AH, AC là 2 tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)

Tương tự: \(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)

\(\Rightarrow\widehat{CMD}=2\left(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}\right)\)

b. AC, AH, BD, BH là các tiếp tuyến nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC=AH\\BD=BH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC+BD=...\)

c.

AC song song BD (cùng vuông CD), O và M lần lượt là trung điểm AB, CD 

\(\Rightarrow OM\) là đtb hình thang vuông ABDC \(\Rightarrow OM\) vuông CD

Hệ thức lượng tam giác vuông OMK: \(OM^2=OH.OK\)

Mà \(OM=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow...\)