Cho nửa đường tròn , đường kính AB = 2R . M là 1 điểm di động trên nửa đường tròn đó . Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ 2 tiếp tuyến AC , BD với ( M )
a , CMR 3 điểm C , M , D cùng nằm trên tiếp tuyến của ( M )
b , CMR AC + BD không đổi
c , Tính AC . BD theo CD
d , giả sử CD cắt Ab tại K . CMR \(OA^2=OB^2=OH.OK\)
Lời giải:
a) Đề bài không chuẩn. Có lẽ là CMR 3 điểm $C,M,D$ cùng nằm trên đường kính của $(M)$.
Ta thấy $AH,AC,BH,BD$ là tiếp tuyến của $(M)$
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
$MA$ là phân giác của góc \(\widehat{CMH}\)
$MB$ là phân giác của góc \(\widehat{DMH}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{CMH}=2\widehat{AMH}\\ \widehat{DMH}=2\widehat{BMH}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \widehat{CMH}+\widehat{DMH}=2(\widehat{AMH}+\widehat{BMH})\)
\(\Leftrightarrow \widehat{CMD}=2\widehat{AMB}\)
Mà \(\widehat{AMB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow \widehat{CMD}=2.90^0=180^0\Rightarrow C,M,D\) thẳng hàng
Mà $C,D\in (M)$ nên $CD$ là bán kính của $(M)$, hay $C,M,D$ cùng nằm trên đường kính $(M)$
b)
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau:
\(\left\{\begin{matrix} AC=AH\\ BD=BH\end{matrix}\right.\Rightarrow AC+BD=AH+BH=AB=2R\) không đổi
Ta có đpcm
c)
Theo phần b: \(AC.BD=AH.BH\)
Mà xét tam giác $AMB$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì: \(MH^2=AH.BH\)
Và: \(MH=\frac{CD}{2}\)( bán kính bằng một nửa đường kính)
\(\Rightarrow AC.BD=AH.BH=(\frac{CD}{2})^2=\frac{CD^2}{4}\)
d)
Vì \(AC\parallel BD(\) cùng vuông góc với $CD$)
\(\Rightarrow ACDB\) là hình thang
Xét hình thang trên dễ thấy $OM$ là đường trung bình của hình thang nên \(OM\parallel AC\Rightarrow OM\perp CD\) \(\Rightarrow OM \perp KM\)
Xét tam giác vuông $KMO$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông: \(OH.OK=MO^2=R^2=OA^2=OB^2\) (đpcm)
