Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. M là một điểm di động trên nửa đường tròn đó (M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M), (C,D là 2 tiếp điểm).
a, Chứng minh rằng ba điểm C,M,D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M.
b, Chứng minh tổng AC+BD không đổi khi đó tính tích AC.BD theo CD
c, Gọi K là giao điểm của AB và CD. Chứng minh \(OA^2=OB^2=OH.OK\)
a: Xét (M) có
AC,AH là các tiếp tuyến
nên AC=AH và MA là phân giác của góc CMH(1)
Xét (M) có
BH,BD là các tiếp tuyến
nên BH=BD và MB làphân giác của góc HMD(2)
Từ (1) và (2) suy ra góc CMD=2*90=180 độ
=>C,M,D thẳng hàng
mà MD=MC
nên M là trung điểm của DC
Xét tứ giác ABDC có
O,M lần lượt là trung điểm của AB,DC
nên OM là đường trung bình
=>OM vuông góc với DC
=>DC là tiếp tuyến của (O)
b: AC+BD=AH+BH=AB ko đổi
AC*BD=AH*HB=MH^2=CD^2/4
c: Xét ΔMOK vuông tại M có MH là đường cao
nên OH*OK=OM^2=OA^2=OB^2
