\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)

\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)

\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)

Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ 

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)

Bài 1 :

a) \(x^3-x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x^2+x^2-2x+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-2x^2\right)+\left(x^2-2x\right)+\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)(1)

Vì \(x^2+x+1=x^2+2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+x+1\ge\frac{3}{4}\forall x\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x-2=0\)\(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy \(x=2\)

Bài 2: 

\(2x^2+y^2-2xy+2y-6x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2-2x+2y+1+x^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(2x-2y\right)+1+\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2\left(x-y\right)+1+\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)(1)

Vì \(\left(x-y-1\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(x-2\right)^2\ge0\forall x,y\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-1\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}}\)

Vậy \(x=2\)và \(y=1\)

\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Bình phương 2 vế, ta có:

\(x+y+3+1=x+y\)

\(x+y+3+1-x-y=0\)

\(4=0\) (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

-Chúc bạn học tốt-

(x,y) hoán vị của (4,9) . có vẻ hoạt động

\(y\left(x+1\right)^2=-x^2+2018x-1\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-x^2+2018x-1}{\left(x+1\right)^2}=-1+\dfrac{2020x}{\left(x+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2020x}{\left(x+1\right)^2}\in Z\)

Mà x và \(x\left(x+2x\right)+1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow2020⋮\left(x+1\right)^2\)

Ta có 2020 chia hết cho đúng 2 số chính phương là 1 và 4

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2=1\\\left(x+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{0;1\right\}\) \(\Rightarrow y\)

b.

Từ pt đầu:

\(x^2+xy-2y^2+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y\right)+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-2y-2\end{matrix}\right.\)

Thế xuống dưới ...

ĐKXĐ: \(x;y\ge\frac{1}{2}\)

Vì x,y khác 0 nên cùng chia 2 vế của pt bđ cho xy ta được

\(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}=2\)

Ta có: \(\sqrt{2y-1}\le y\)(1)( \(y\ge\frac{1}{2}\))

Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow2y-1\le y^2\)

                        \(\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\)

                       \(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Nên (1) đúng \(\Rightarrow\frac{\sqrt{2y-1}}{y}\le1\)

Tương tự \(\frac{\sqrt{2x-1}}{x}\le1\)

Do đó \(\frac{\sqrt{2y-1}}{y}+\frac{\sqrt{2x-1}}{x}\le1+1=2\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1 (T/M)

Vậy x = y = 1

Incur: Góp thêm một cách c/m: \(\sqrt{2y-1}\le y\) là dùng cô si ngược nhé

\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)

\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)

\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)

Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)