1/ \(x^4+5>x^2+4x\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1+x^2-4x+4>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2+\left(x-2\right)^2>0\) đúng vì đấu = không xảy ra

2/ Ta có:

\(a=\sqrt{90-b^2-c^2}\le\sqrt{90-5^2-6^2}< 6\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}b< 7\\c\le7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-4\right)\left(a-9\right)+\left(b-5\right)\left(b-8\right)+\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13\left(a+b+c\right)+118\le0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge16\)

Lời giải:

Đặt \((a,b,c)=(m+4,n+5,p+6)\Rightarrow m,n,p\geq 0\)

Điều kiện đb trở thành:

\(a^2+b^2+c^2=90\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p=13\)

Vì \(m,n,p\geq 0\) nên:

\(13=m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p\leq (m+n+p)^2+12(m+n+p)\)

\(\Leftrightarrow (m+n+p+13)(m+n+p-1)\geq 0\)

\(\Rightarrow m+n+p\geq 1\)

\(\Rightarrow a+b+c=m+n+p+15\geq 16\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(4,5,7)\)

Từ giả thiết ta suy ra 

(a-4)(a-9)+(b-5)(b-8)+(c-6)(c-7)\(\le\)0

⇔a²+b²+c²−13(a+b+c)+118≤0⇔a²+b²+c²−13(a+b+c)+118≤0

⇔a+b+c≥16

Dấu "=" xảy ra khi a=4,b=5,c=6

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge16+25=41\Rightarrow c^2=90-\left(a^2+b^2\right)\le49\Rightarrow c\le7\)

Tương tự: \(b=\sqrt{90-\left(a^2+c^2\right)}\le\sqrt{90-\left(4^2+6^2\right)}=\sqrt{38}\)

\(a\le\sqrt{90-\left(5^2+6^2\right)}=\sqrt{29}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)\left(a-9\right)\le0\\\left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13a\ge a^2+36\\13b\ge b^2+40\\13c\ge c^2+42\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow13\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+118=208\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge16\)

\(P_{min}=16\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)

a>=4,b>=5,c>=6

=>a+b+c>=4+5+6>=15

hay P>=15

@Akai Haruma làm hộ mình

Xơi luôn nha:v

Có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(5^2+1^2+1^2\right)\ge\left(5a+b+c\right)^2\)

Do đó \(A\ge\frac{\left(5a+b+c\right)^2}{27}\). Lại có: \(5a+b+c=4a+\left(a+b+c\right)\ge4.5+7=27\)

Từ đó \(A\ge27\)

True?

Từ \(a\ge5\)và \(a+b\ge6\)\(\Rightarrow b\ge1\)

Từ \(a+b\ge6\)và \(a+b+c\ge7\)\(\Rightarrow c\ge1\)

\(\Rightarrow A=a^2+b^2+c^2\ge5^2+1^2+1^2=27\)

Dấu = xảy ra khi \(a=5,b=c=1\)

Vậy \(minA=27\Leftrightarrow a=5,b=c=1\)

@Chu Công Đức đọc kĩ đề nha

Nếu tôi lấy a=6 và b=-1 thì bài bạn chưa đúng

Đặt A=\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\)

Ta có :A+3=\(\left(\dfrac{b+c+5}{1+a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a+4}{2+b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b+3}{3+a}+1\right)\)

=\(\dfrac{a+b+c+6}{1+a}+\dfrac{a+b+c+6}{2+b}+\dfrac{a+b+c+6}{3+c}\)

=\(\left(a+b+c+6\right)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{3+c}\right)\)

=\([\left(a+1\right)+\left(b+2\right)+\left(c+3\right)|\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)( với x,y,z>0)

Ta có :A+3\(\ge9\)\(\Rightarrow A\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=3,b=2,c=1