Question

Chứng minh rằng nếu \(a\ge4\) , \(b\ge5\), \(c\ge6\) và \(a^2+b^2+c^2=90\)thì \(a+b+c\ge16\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \((a,b,c)=(m+4,n+5,p+6)\Rightarrow m,n,p\geq 0\)

Điều kiện đb trở thành:

\(a^2+b^2+c^2=90\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p=13\)

Vì \(m,n,p\geq 0\) nên:

\(13=m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p\leq (m+n+p)^2+12(m+n+p)\)

\(\Leftrightarrow (m+n+p+13)(m+n+p-1)\geq 0\)

\(\Rightarrow m+n+p\geq 1\)

\(\Rightarrow a+b+c=m+n+p+15\geq 16\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(4,5,7)\)