Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Thúy Vy

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn

\(a+b+c+\sqrt{2abc}\ge10\)

Chứng minh rằng:

\(S=\sqrt{\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{9b^2}{2}+\dfrac{c^2a^2}{4}}+\sqrt{\dfrac{8}{b^2}+\dfrac{9c^2}{2}+\dfrac{a^2b^2}{4}}+\sqrt{\dfrac{8}{c^2}+\dfrac{9a^2}{2}+\dfrac{b^2c^2}{4}}\ge6\sqrt{6}\)

Kuro Kazuya
26 tháng 5 2017 lúc 20:23

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky

\(\Rightarrow\sqrt{\left(\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{9b^2}{2}+\dfrac{c^2a^2}{4}\right)\left[\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(3\sqrt{2}\right)^2+2^2\right]}\ge\left(\sqrt{\dfrac{4}{a}+9b+ca}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{6}\sqrt{\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{9b^2}{2}+\dfrac{c^2a^2}{4}}\ge\dfrac{4}{a}+9b+ac\)

Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{6}\sqrt{\left(\dfrac{8}{b^2}+\dfrac{9c^2}{2}+\dfrac{a^2b^2}{4}\right)}\ge\dfrac{4}{b}+9c+ab\\2\sqrt{6}\sqrt{\left(\dfrac{8}{c^2}+\dfrac{9a^2}{2}+\dfrac{b^2c^2}{4}\right)}\ge\dfrac{4}{c}+9a+bc\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\sqrt{6}S\ge\dfrac{4}{a}+9a+\dfrac{4}{b}+9b+\dfrac{4}{c}+9c+ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{6}S\ge\dfrac{4}{a}+a+8a+\dfrac{4}{b}+b+8b+\dfrac{4}{c}+c+8c+ab+bc+ca\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a}+a\ge2\sqrt{4}=4\\\dfrac{4}{b}+b\ge2\sqrt{4}=4\\\dfrac{4}{c}+c\ge2\sqrt{4}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{a}+a+8a+\dfrac{4}{b}+b+8b+\dfrac{4}{c}+c+8c+ab+bc+ca\ge12+8a+8b+8c+ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow2\sqrt{6}S\ge12+8a+8b+8c+ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{6}S\ge12+2a+bc+2b+ac+2c+ab+6\left(a+b+c\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow2a+bc\ge2\sqrt{2abc}\)

Tượng tự ta có \(2b+ac\ge2\sqrt{2abc}\) ; \(2c+ab\ge2\sqrt{2abc}\)

\(\Rightarrow12+2a+bc+2b+ac+2c+ab+6\left(a+b+c\right)\ge6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)+12\)

\(\Rightarrow2\sqrt{6}S\ge6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)+12\)

Theo đề bài ta có \(a+b+c+\sqrt{2abc}\ge10\)

\(\Rightarrow6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)+12\ge72\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{72}{2\sqrt{6}}=6\sqrt{6}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=2\)


Các câu hỏi tương tự
Kinder
Xem chi tiết
Cold Wind
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết
Anh Huy Nguyễn Hoàng
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Serena chuchoe
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
loancute
Xem chi tiết