Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Trần Đông
Xem chi tiết
Akai Haruma
23 tháng 9 2018 lúc 17:27

Lời giải:

Biến đổi tương đương:

\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{4}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{4}\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

nguyễn thị oanh
Xem chi tiết
Hoàng Lê Bảo Ngọc
16 tháng 8 2016 lúc 18:22

Chứng minh bằng biến đổi tương đương :

\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) . Vì hai vế không âm nên bình phương cả hai vế : 

\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\) \(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+b+2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu dc chứng minh. 

Dấu "=" xảy ra khi a = b (a,b không âm)

Lâm Hàn Thiên Phong
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
14 tháng 8 2020 lúc 10:13

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b\ge0\))

Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b\ge0\)

\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\forall b,c\ge0\)

\(\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ac}\forall a,c\ge0\)

Do đó: \(\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)(đpcm)

Miinhhoa
14 tháng 8 2020 lúc 10:19

Ta có : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)

Bất đẳng thức 2 luôn đúng với \(\forall x\),vậy nên bất đẳng thức 1 cũng luôn đúng với mọi x .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a-b\right)^2=0\)

=> a-b=0 => a=b

Vậy BDT \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) xảy ra khi a = b

áp dụng ta có :

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\)

\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\left(2\right)\)

\(\frac{a+c}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)

từ 1,2,3 cộng từng ba bất đẳng thức ta được : \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Mở rộng kết quả cho 4 số a,b,c,d không âm ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)

Mở rộng kết quả cho 5 số a,b,c,d,e không âm ta có bất đẳng thức :

\(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)

havy hoang
Xem chi tiết
Unruly Kid
18 tháng 8 2017 lúc 16:25

1) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

Unruly Kid
18 tháng 8 2017 lúc 16:32

2) \(\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b}\right)^2\ge0\)

\(2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\)

\(4a+4b\ge2a+2b+4\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

Thảo Đinh Thị Phương
18 tháng 8 2017 lúc 16:45

Mình sẽ phân tích theo hướng đi lên nhé :))

Bình phương 2 vế, ta được:

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}^2\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2^2}\\ < =>\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}< =>a+b\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}\)

(nhân cả 2 vế cho 2)

\(< =>2a+2b\ge a+b+2\sqrt{ab}\\ < =>a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Hiển nhiên đúng theo BĐT cô-si

thuthuy Luu
Xem chi tiết
Nguyễn Linh Chi
18 tháng 7 2020 lúc 15:05

Với DK:a\(\ge\)b,b\(\ge\)0,a\(\ne\)b

\(\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=0\)

Khách vãng lai đã xóa
Phạm Đức Hoàng
Xem chi tiết
Phạm Đức Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 9 2019 lúc 0:22

Biến đổi tương đương:

\(2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Lê Quỳnh Hương
Xem chi tiết
Aki Tsuki
3 tháng 7 2018 lúc 19:52

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\) (Luôn đúng vì a ≥0; b≥0)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=0

Nguyễn Thanh
Xem chi tiết