Question

B1, cho a, b không âm. chứng minh

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)(bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).

Dấu bằng xảy rakhi nào?

B2, với a\(\ge\)0 và b\(\ge\)0. chứng minh

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Answer 1

1) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

Answer 2

2) \(\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b}\right)^2\ge0\)

\(2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\)

\(4a+4b\ge2a+2b+4\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b

Answer 3

Mình sẽ phân tích theo hướng đi lên nhé :))

Bình phương 2 vế, ta được:

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}^2\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2^2}\\ < =>\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}< =>a+b\ge\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2}\)

(nhân cả 2 vế cho 2)

\(< =>2a+2b\ge a+b+2\sqrt{ab}\\ < =>a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Hiển nhiên đúng theo BĐT cô-si