a: \(\Delta=\left(2m+2\right)^2-4\cdot4m=4m^2+8m+4-16m=\left(2m-2\right)^2\)

Để phương trình có nghiệm kép thì 2m-2=0

hay m=2

b: Thay x=4 vào pt, ta được:

\(16-8\left(m+1\right)+4m=0\)

=>16-8m-4+4m=0

=>12-4m=0

hay m=3

c: Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì 2(m+1)>0

=>m>-1

e: Để phương trình có hai nghiệm dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\4m>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>0\)

Ta có: P = -28/5 < 0 => Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí viet ta có: 

\(x_1x_2=-\frac{28}{3}\left(1\right);x_1+x_2=-\frac{m}{5}\left(2\right)\)

Theo đề bài: \(5x_1+2x_2=1\)

<=> \(5\left(x_1+x_2\right)-3x_2=1\)

<=> \(x_2=\frac{-m-1}{3}\)

=> \(x_1+\frac{-m-1}{3}=-\frac{m}{5}\)

<=> \(x_1=\frac{2m}{15}+\frac{1}{3}=\frac{2m+5}{15}\)

Thay vào (1) ta có: \(\frac{-m-1}{3}.\frac{2m+5}{15}=-\frac{28}{5}\)

<=> \(\left(m+1\right)\left(2m+5\right)=252\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}m=-13\\m=\frac{19}{2}\end{cases}}\)

Vậy:...

Xét \(\Delta=m^2-45\cdot\left(-28\right)=m^2+560>0\forall m\)

Khi đó \(x_1=\frac{-m+\sqrt{m^2+560}}{10}\)

\(x_2=\frac{-m-\sqrt{m^2+560}}{10}\)

Khi đó \(5x_1+2x_2=\frac{5\left(-m+\sqrt{m^2+560}\right)+2\left(-m-\sqrt{m^2+560}\right)}{10}=\frac{-7m+3\sqrt{m^2+560}}{10}=1\)

\(\Rightarrow3\sqrt{m^2+560}=10+7m\)

\(\Rightarrow9\left(m^2+560\right)=49m^2+140m+100\)

\(\Rightarrow40m^2+140m-4940=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{19}{2}\\m=-13\end{cases}}\)

a=1,b=-4,c=m-1

Ta có : △ = b\(^2\)-4ac =16-4(m-2)=16-4m+8

Để PT(1) có nghiệm kép thì △=0 <=> 16-4m+8=0<=> 4m=24<=>m=6

Với m=6 PT(1) <=> x\(^2\)-4x+6-2=0<=>x\(^2\)-4x+4=0

Lại Có m=6 thì pt có nghiệm kép => x\(_1\)=x\(_2\)=-\(\dfrac{b}{2a}\)=2

Vậy Với m=6 thì pt 1 có nghiệm kép x=1

b) Theo hệ thức Vi-et 

Ta có: x\(_1\)+x\(_2\)=\(\dfrac{-b}{a}\)=4 và x\(_1\).x\(_2\)=\(\dfrac{c}{a}\)=m-2

x1\(^2\)+x2\(^2\)=9

<=> (x\(_1\)+x\(_2\))\(^2\)-2x\(_1\).x\(_2\)=9

<=>16-2m+4=9

<=>2m=1

<=> m=\(\dfrac{1}{2}\)

Vậy m =\(\dfrac{1}{2}\) thì pt(1) có 2 nghiệm thõa mãn x\(_1\)\(^2\)+ x\(_2\)\(^2\)=9

Bài 2:

Vì a,b là nghiệm PT nên \(\left\{{}\begin{matrix}30a^2-4a=2010\\30b^2-4b=2010\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{a^{2008}\left(30a^2-4a\right)+b^{2008}\left(30b^2-4b\right)}{a^{2008}+b^{2008}}\\ \Rightarrow N=\dfrac{a^{2008}\cdot2010+b^{2008}\cdot2010}{a^{2008}+b^{2008}}=2010\)

Bài 1:

Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\\x_1x_2=a-1\end{matrix}\right.\)

\(M=\dfrac{2x_1^2+x_1x_2+2x_2^2}{x_1^2x_2+x_1x_2^2}=\dfrac{2\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2}{x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}=\dfrac{2a^2-3a+3}{a^2-a}\)