Ta có: \(\overrightarrow{u}=\left(\dfrac{1}{2};-5\right)\) ; \(\overrightarrow{v}=\left(k;-4\right)\)

Để hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương

\(\Leftrightarrow\dfrac{k}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow k=\dfrac{2}{5}\)

Bước 1: Dựng hình bình hành có cạnh song song với giá của vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) và đường chéo là vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \).

Ta dựng được hình hình hành ABCD và DEGH. Trong đó:  DC và DE nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow a \), DA và DH nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow b \), còn vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) lần lượt là hai dường chéo.

Dễ thấy: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} ,\;\overrightarrow v  = \overrightarrow {DH}  + \overrightarrow {DE} \)

Mà \(\overrightarrow {DA}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a \;,\;\overrightarrow {DH}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DE}  =  - 2\overrightarrow a .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2\overrightarrow b  + \overrightarrow a ,\;\,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow a \)

u(1/2;-5).    v(k;-4)

\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.1+a.\left(-1\right)=2-a\)

\(\Rightarrow2-a=1\Rightarrow a=1\)

Lời giải:

a)

\(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(1-2, 2-2,3-(-1))=(-1,0,4)\)

b)

\(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{w}=(1-2+2.4,2-2+2.0; 3-(-1)+2(-4))\)

\(=(7, 0, -4)\)

c)

\(\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}=(2.1+4.2-4, 2.2+4.2-0, 2.3+4.(-1)-(-4))\)

\(=(6,12,6)\)

d)

\(2\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}=3(1,2,3)+(4,0,-4)=(3.1+4, 3.2+0,3.3+(-4))\)

\(=(7,6,5)\Rightarrow \overrightarrow{x}=(\frac{7}{2}, 3, \frac{5}{2})\)

e)

\(3\overrightarrow{x}=-2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=-2(1,2,3)-(2,2,-1)+(4,0,-4)\)

\(=(-2,-4,-6)-(2,2,-1)+(4,0,-4)=(-2-2+4,-4-2+0,-6-(-1)+(-4))\)

\(=(0,-6,-9)\Rightarrow \overrightarrow{x}=(0,-2,-3)\)

a) Vì \(\overrightarrow a  = 3\overrightarrow i \)nên \(\overrightarrow a  = \left( {3;0} \right)\)

b) Vì \(\overrightarrow b  =  - \overrightarrow j \)nên \(\overrightarrow b  = \left( {0; - 1} \right)\)

c) Vì \(\overrightarrow c  = \overrightarrow i  - 4\overrightarrow j \)nên \(\overrightarrow c  = \left( {1; - 4} \right)\)

d) Vì \(\overrightarrow d  = 0,5\overrightarrow i  + \sqrt 6 \overrightarrow j \)nên \(\overrightarrow d  = \left( {0,5;\sqrt 6 } \right)\)