\(\sqrt{2-f\left(x\right)}=f\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)\ge0\\f^2\left(x\right)+f\left(x\right)-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=1\\f\left(x\right)=-2< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow f\left(1\right)=f\left(2\right)=f\left(3\right)=1\)

\(\sqrt{2g\left(x\right)-1}+\sqrt[3]{3g\left(x\right)-2}=2.g\left(x\right)\)

\(VT=1.\sqrt{2g\left(x\right)-1}+1.1\sqrt[3]{3g\left(x\right)-2}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(1+2g\left(x\right)-1\right)+\dfrac{1}{3}\left(1+1+3g\left(x\right)-2\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\le2g\left(x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(g\left(x\right)=1\)

\(\Rightarrow g\left(0\right)=g\left(3\right)=g\left(4\right)=g\left(5\right)=1\)

Để các căn thức xác định \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)-1\ge0\\g\left(x\right)-1\ge0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\sqrt{f\left(x\right)-1}+\sqrt{g\left(x\right)-1}+f\left(x\right).g\left(x\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{f\left(x\right)-1}+\sqrt{g\left(x\right)-1}+\left[f\left(x\right)-1\right]\left[g\left(x\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=1\\g\left(x\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy tập nghiệm của pt đã cho có đúng 1 phần tử

\(\Leftrightarrow\sqrt{2t^2+mt-m-1}=t-1\) có 2 nghiệm thỏa mãn \(1\le t< 3\)

\(\Rightarrow2t^2+mt-m-1=t^2-2t+1\)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+\left(m+2\right)t-m-2=0\) có 2 nghiệm \(1< t_1< t_2< 3\) (hiển nhiên \(t=1\) ko là nghiệm)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+2\right)^2+4\left(m+2\right)>0\\f\left(1\right)=1>0\\f\left(3\right)=9+3\left(m+2\right)-m-2>0\\1< \dfrac{t_1+t_2}{2}=\dfrac{-m-2}{2}< 3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)\left(m+6\right)>0\\2m+13>0\\2< -m-2< 6\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>-2\\m< -6\end{matrix}\right.\\m>-\dfrac{13}{2}\\-8< m< -4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{13}{2}< m< -6\)

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+2020\\ \Leftrightarrow f\left(\sqrt{3}-1\right)=a\left(4-2\sqrt{3}\right)+b\left(\sqrt{3}-1\right)+2020=2021\\ \Leftrightarrow4a-2a\sqrt{3}+b\sqrt{3}-b-1=0\\ \Leftrightarrow\left(4a-b-1\right)-\sqrt{3}\left(2a-b\right)=0\\ \Leftrightarrow4a-b-1=\sqrt{3}\left(2a-b\right)\)

Vì a,b hữu tỉ nên \(4a-b-1;2a-b\) hữu tỉ

Mà \(\sqrt{3}\) vô tỉ nên \(\sqrt{3}\left(2a-b\right)\) hữu tỉ khi \(2a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-b-1=0\\2a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow f\left(1+\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(4+2\sqrt{3}\right)+1+\sqrt{3}+2020=2023+2\sqrt{3}\)

f(x) có nghiệm 

=> \(b^2\ge4c\)

\(f\left(2\right)=4+2b+c=\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c+1+1+1+1\)

                                        \(\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{16}b^4c}\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{16}.\left(4c\right)^2.c}=9\sqrt[3]{c}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi b=2,c=1

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1\\x-3\end{cases}}\)

=> x = 1 và x = 3 là nghiệm của đa thức f(x)

Mà nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x)

=> nghiệm của đa thức g(x) là x = { 1; 3 }

Với x = 1 thì \(g\left(x\right)=1^3-a.1^2+b.1-3=0\)

\(\Rightarrow-a+b=2\)(1)

Với x = 3 thì \(g\left(x\right)=3^3-a.3^2+3b-3=0\)

\(\Rightarrow3a-b=8\)(2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được : ( - a + b ) + (3a - b) = 10

=> 2a = 10 => a = 5

=> - 5 + b = 2 => b = 7

Vậy a = 5 ; b = 7

(x-1)(x-3)=0

=>x-1=0 hoặc x-3=0

=>x=1 hoặc x=3

Vậy nghiệm của f(x) là 1 và 3

Nghiệm của g(x) cũng là 1 và 3

Với x=1 ta có g(x)=1+a+b-3=0

=>a+b-2=0

a+b=2

Với x=3 ta có g(x)=27-9a+3b-3=0

=>24-9a+3b=0

=>8-3a+b=0

=>3a-b=8

a=\(\frac{8+b}{3}\)

Vậy với a+b=2 hoặc \(a=\frac{8+a}{3}\) thì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của g(x)

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=3\end{cases}}\)

Vậy 2 nghiệm của \(f\left(x\right)\) là 1 và 3.

Vì nghiệm của \(g\left(x\right)\) cũng là nghiệm của \(f\left(x\right)\) hay ngược lại, hay 1 và 3 vào \(g\left(x\right)\), ta được:

\(\hept{\begin{cases}g\left(1\right)=-2-a+b\\g\left(3\right)=24-9a+3b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-a+b=2\\-9a+3b=-24\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3\left(-a+b\right)=3.2\\-9a+3b=-24\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}-3a+3b=6\\-9a+3b=-24\end{cases}}}\Rightarrow\left(-3a+3b\right)-\left(-9a+3b\right)=6-\left(-24\right)\Leftrightarrow-3a+3b+9a-3b=6+24\Leftrightarrow6a=30\Leftrightarrow a=5\Rightarrow-5+b=2\Leftrightarrow b=2+5=7\)

Vậy a=5 và b=7

a, => p^2 = 5q^2 + 4

+, Nếu q chia hết cho 3 => q=3 => p=7 ( t/m )

+, Nếu q ko chia hết cho 3 => q^2 chia 3 dư 1 => 5q^2 chia 3 dư 5

=> p^2 = 5q^2 + 4 chia hết cho 3

=> p chia hết cho 3 ( vì 3 là số nguyên tố )

=> p = 3 => q = 1 ( ko t/m )

Vậy p=7 và q=3

Tk mk nha