a) Ta có: I là trung điểm AB

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=1\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I\left(1;0\right)\)

b) Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{-1+3+4}{3}=2\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{-2+2+1}{3}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow G\left(2;\dfrac{1}{3}\right)\)

Lời giải:
Gọi $G(a,b)$ là trọng tâm tam giác. Ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (1-a, 4-b)+(2-a, -3-b)+(1-a, -2-b)=(0,0)$

$\Leftrightarrow (1-a+2-a+1-a, 4-b-3-b-2-b)=(0,0)$

$\Leftrightarrow (5-3a, -1-3b)=(0,0)$

$\Rightarrow 5-3a=0; -1-3b=0$

$\Rightarrow a=\frac{5}{3}; b=\frac{-1}{3}$

b.

Để $A,B,D$ thẳng hàng thì:

$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AD}$ với $k$ là số thực $\neq 0$

$\Leftrightarrow (1,-7)=k(-2, 3m-1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{-2}=\frac{-7}{3m-1}$

$\Rightarrow m=5$

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 6} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB}  \ne k.\overrightarrow {AC} \) nên A, B, C không thẳng hàng

b) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 2 + 4 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 5 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 6} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2; - 8} \right)\)

Suy ra: \(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {2^2}}  = \sqrt {40} \\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = \sqrt {52} \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}}  = \sqrt {68} \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{6.4 + 2.\left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} \approx 0,263 \Rightarrow \widehat {BAC} \approx {74^o}\\\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\left( { - 6} \right).\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 8} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} \approx 0,47 \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {62^o}\end{array}\)
Áp dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác ta có: \(\widehat {ACB} \approx {180^o} - {74^o} - {62^o} \approx {44^o}\)

 Gợi ý thôi nhé.

a) Có \(AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(\left(-1\right)-6\right)^2+\left(2-\left(-1\right)\right)^2}=\sqrt{58}\)

Tương tự như vậy, ta tính được AC, BC. 

 Tính góc: Dùng \(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\)

b) Chu vi thì bạn lấy 3 cạnh cộng lại.

 Diện tích: Dùng \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

c) Gọi \(H\left(x_H,y_H\right)\) là trực tâm thì \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\BH\perp AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

 Sau đó dùng: \(\overrightarrow{u}\left(x_1,y_1\right);\overrightarrow{v}\left(x_2,y_2\right)\) thì \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1x_2+y_1y_2\) để lập hệ phương trình tìm \(x_H,y_H\)

Trọng tâm: Gọi \(G\left(x_G,y_G\right)\) là trọng tâm và M là trung điểm BC. Dùng \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}\\y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}\end{matrix}\right.\) để tìm tọa độ M. 

 Dùng \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\) để lập hpt tìm tọa độ G.

Bài gì vậy ạ?

Đáp án A

Phân tích.

- Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A: x - 3 y + 5 = 0 giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.

- Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.

- Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.

- Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.

Hướng dẫn giải.

Gọi M ' ∈   A C  là điểm đối xứng của M qua phân giác trong góc A, gọi I là giao điểm của MM' với phân giác trong góc A → I là trung điểm MM’.

Phương trình MM’ là:  3 x + y - 11 = 0

Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:

M’ đối xứng với M qua  

Đường thẳng AC qua N và M’ nên có phương trình:

Tọa độ A là nghiệm của hệ: 

Đường thẳng AB đi qua A, M nên có phương trình:

x + y - 3 = 0

Gọi 

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là:

Chọn A

Phân tích.

     - Ta thấy A thuộc đường phân giác trong góc A:x-3y+5=0 , giờ chỉ cần viết được phương trình AC là tìm được A.

     - Trên AC đã có một điểm N, cần tìm thêm một điểm nữa. Chú ý khi lấy M’ đối xứng với M qua phân giác trong ta có M’ thuộc cạnh AC.

     - Tìm M’ viết được phương trình AC từ đó suy ra A. Có A, M viết được phương trình AB.

     - Gọi B, C và tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC. Áp dụng công thức trọng tâm sẽ tìm ra được tọa độ B, C.

I là trọng tâm của ΔABC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3\cdot x_I\\y_A+y_B+y_C=3\cdot y_I\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3+\left(-1\right)+x_C=3\cdot1=3\\-1+2+y_C=3\cdot1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3-2=1\\y_C=3-1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(1;2)

Ta có: A(3;-1); B(-1;2); C(1;2); D(x;y)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right);\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: D(5;-1)

Tâm O của hình bình hành ABCD sẽ là trung điểm của AC

A(3;-1); C(1;2); O(x;y)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\y=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_I\\y_A+y_B+y_C=3y_I\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_I-\left(x_A+x_B\right)=1\\y_C=3y_I-\left(y_A+y_B\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(1;2\right)\)

Đặt tọa độ D là \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\end{matrix}\right.\)

ABCD là hình bình hành \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(5;-1\right)\)

Tâm O hình bình hành là trung điểm đường chéo AC nên áp dụng công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_O=\dfrac{x_A+x_C}{2}=2\\y_O=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)

1: \(\overrightarrow{AB}=\left(-10;-5\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;3\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(4;8\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\) ΔABC vuông tại C

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+3^2}=3\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\)

Do đó: \(S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=30\)