a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180^o\\\widehat{ACB}+\widehat{BCE}=180^o\end{matrix}\right.\left(kềbù\right)\)

Lại có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

Nên : \(180^o-\widehat{ABC}=180^o-\widehat{ACB}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\)

Xét \(\Delta BDC,\Delta CBE\) có :

\(BC:Chung\)

\(\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta BDC=\Delta CBE\left(c.g.c\right)\)

Xét \(\Delta BID,\Delta CIE\) có :

\(\widehat{BID}=\widehat{CIE}\) (đối đỉnh)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{BDI}=\widehat{CEI}\) (do \(\Delta BDC=\Delta CBE\))

=> \(\Delta BID=\Delta CIE\left(g.c.g\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}IB=IC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\\ID=IE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)

b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(\text{tam giác ABC cân tại A}\right)\\BD=CE\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB+BD=AD\\AC+CE=AE\end{matrix}\right.\)

Suy ra : \(AB+BD=AC+EC\)

\(\Leftrightarrow AD=AE\)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A

Ta có : \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> \(BC//DE\rightarrowđpcm\)

c) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có :

\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

BM = CM (M là trung điểm của BC)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

=> AM là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (3)

Ta chứng minh : \(\Delta ABI=\Delta ACI\)

Suy ra : \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (4)

Từ (3) và (4) => \(AM\equiv AI\)

=> A, M, I thẳng hàng.

=> đpcm

Bài 2:

a) Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(CNM\) có:

\(AM=CM\) (vì M là trung điểm của \(AC\))

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMN}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(BM=NM\) (vì M là trung điểm của \(BN\))

=> \(\Delta ABM=\Delta CNM\left(c-g-c\right).\)

=> \(AB=CN\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCM}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{NCM}=180^0\) (vì 2 góc kề bù)

Mà \(\widehat{BAM}=90^0\left(gt\right)\)

=> \(90^0+\widehat{NCM}=180^0\)

=> \(\widehat{NCM}=180^0-90^0\)

=> \(\widehat{NCM}=90^0.\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCM}=90^0\)

=> \(CN\perp AB.\)

b) Xét 2 \(\Delta\) \(AMN\) và \(CMB\) có:

\(AM=CM\) (như ở trên)

\(\widehat{AMN}=\widehat{CMB}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(MN=MB\) (như ở trên)

=> \(\Delta AMN=\Delta CMB\left(c-g-c\right)\)

=> \(AN=BC\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{ANM}=\widehat{CBM}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(AN\) // \(BC.\)

Chúc bạn học tốt!

Bài 1 a)

b)

C)