EP // MF (EP là đường trung bình trong ∆BAF) và EP = AF / 2 = MF => MENF là hình bình hành. 
=> MP và EF cắt nhau tại trung điểm I. 
FN // DE và FN = DE / 2 = QE => FQEN là hình bình hành => QN và EF cắt nhau tại trung điểm I 
=> MP và QN cắt nhau tại trung điểm của chúng => MNPQ là hình bình hành 

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được:

E H = F G = 1 2 B D   v à   H G = E F = 1 2 A C

Mà AC = BD Þ EH = HG = GF= FE nên EFGH là hình thoi.

a) Ta có:-

- M là trung điểm của AB

⇒  AM = MB.

- N là trung điểm của BC

⇒ BN = NC.

- P là trung điểm của CD

⇒ CP = PD.

- Q là trung điểm của DA

⇒ DQ = QA.

Do đó, ta có: AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Có:

- I là trung điểm của AC

⇒AI = IC.

- K là trung điểm của BD

⇒ BK = KD.

Do đó, ta có: AI = IC = BK = KD.

⇒ tứ giác INKQ là hình bình hành.

b)Gọi O là giao điểm của MP và NQ ta có:

MP // AB và NQ//CD ( M và N là trung điểm của AB và CD).

⇒ MP song song với NQ.

do đó :O nằm trên MP và NQ.

  Gọi H là giao điểm của MI và NK ta có:

MI // AC và NK // BD (do I và K là trung điểm của đường chéo AC và BD). 

⇒ MI song song với NK.

  Do đó: H nằm trên cả MI và NK.

  Gọi G là giao điểm của OH và BD ta có:

OH //MP và BD // MP (do O nằm trên MP và NQ, và H nằm trên  MI và NK). 

⇒ OH song song với BD.

doo đó: G nằm trên OH và BD.

⇒ I, O, K thẳng hàng.(ĐPCM)

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ/AC=DQ/DA=1/2

=>PQ=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có CI/CA=CN/CB=1/2

nên IN//AB và IN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DK/DB=1/2

nên QK//AB và QK=1/2AB

=>IN//QK và IN=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của NQ

INKQ là hbh

=>IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>I,O,K thẳng hàng

a:

Ta có: AD//BC

P\(\in\)AD

Do đó: AP//BC

Ta có:BA\(\perp\)AD

P\(\in\)AD

Do đó: BA\(\perp\)PD tại A

Xét ΔMAP vuông tại A và ΔMBC vuông tại B có

MA=MB

\(\widehat{AMP}=\widehat{BMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMAP=ΔMBC

=>AP=BC

Xét tứ giác APBC có

AP//BC

AP=BC

Do đó: APBC là hình bình hành

Xét tứ giác BCDP có BC//DP

nên BCDP là hình thang

Hình thang BCDP có BC\(\perp\)CD

nên BCDP là hình thang vuông

b: Vì BCDP là hình thang vuông

nên \(S_{BCDP}=\dfrac{1}{2}\left(BC+DP\right)\cdot DC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\left(BC+DA+AP\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(DC+DC+BC\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot\left(2DC+DC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3DC^2=\dfrac{3}{2}\cdot DC^2\)

Vì AP=BC

mà BC=AD

nên AP=AD

=>A là trung điểm của PD

\(S_{BPAC}=S_{PAB}+S_{ABC}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot AP\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB+\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AB=BC\cdot AB=AB^2=DC^2\)

=>\(S_{BCDP}=\dfrac{3}{2}\cdot S_{BPAC}\)

=>\(2\cdot S_{BCDP}=3\cdot S_{BPAC}\)

a: Xét ΔABD có 

E là trung điểm của BA

H là trung điểm của AD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của CD

Do đó: FG là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: FG//BD và \(FG=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EH//FG và EH=FG

hay EHGF là hình bình hành

-Bài hình chẳng ai phụ trách giùm mình hết :v (đặc biệt là hình nâng cao).

-Mình cũng xin lỗi vi tối mới làm đc cho bạn nhé.

-Gọi E là giao của AD và BC.

\(\widehat{BAE}=180^0-\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)

\(\Rightarrow\)△ABE∼△CDE (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{BE}{DE}\Rightarrow\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{CE}{DE}\Rightarrow\)△EAC∼△EBD (c-g-c).

\(\Rightarrow\widehat{ICB}=\widehat{IDA}\Rightarrow\)△IBC∼△IAD (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{IB}{IA}=\dfrac{IC}{ID}\Rightarrow\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{IA}{ID}\Rightarrow\)△AIB∼△DIC (c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{IAM}=\widehat{IDN};\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{AB}{DC}\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{MA}{ND}\Rightarrow\dfrac{IA}{MA}=\dfrac{ID}{ND}\)

\(\Rightarrow\)△AIM∼△DIN (c-g-c) \(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{DIN}\)