a)

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

\(=\left(-2m-4\right)^2-4\left(m-3\right)\)

\(=4m^2+16m+16\ge0\forall x\)

Suy ra: Phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Viet, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1\cdot x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4\cdot x_1x_2+2\cdot\left(x_1+x_2\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-3\right)+2\left(2m+4\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4m-12+4m+8+1=8\)

\(\Leftrightarrow8m=8+12-8-1\)

\(\Leftrightarrow8m=11\)

hay \(m=\dfrac{11}{8}\)

Tiếp tục với bài của bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh 

b) 

Ta có: \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(\Rightarrow P=4m^2+11m+31=4m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{11}{2}+\dfrac{121}{4}+\dfrac{3}{4}\) \(=\left(2m+\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

  Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow2m+\dfrac{11}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}\)

  Vậy \(P_{Min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(m=-\dfrac{11}{4}\)

Ta có a=1\(\ne0\)

\(\Rightarrow\) phương trình đã cho là phương trình bậc hai

\(\Delta=9>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lý Vi ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

Ta có:\(x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-3x_1\right)=9\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2\)=9

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2x_1x_2-3x_1x_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-7x_1x_2\)=9

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-7\left(m^2+m-2\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy m=-2;m=1 là các giá trị cần tìm

Pt: $x^{}$${}^{}-\left(2m+1\right)x+m^2+m-2=\mathrm{0\; (a=1;\; b=-(2m+1)\; ;c=m2+m-2\; )}$

Δ=b²-4ac=[-(2m+1)]²-4(m²+m-2)=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9

Vì Δ >0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀ m

Theo hệ thức vi et:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m+1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

${\mathrm{Biểu\; thức:}}^{}$

$x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-3x_1\right)=9$

=x₁²-2x₁x₂ +x₂²- 3x₁x₂=9

= x₁²+x₂²-5x₁x₂=9

=(x₁+x₂)²-2x₁x₂-5x₁x₂=9

=(x₁+x₂)²-7x₁x₂=9

=(2m+1)²-7(m²+m-2)=9

=4m²+4m+1-7m²-7m+14=9

=-3m²-3m+15=9

=-3m²-3m+6=0 a+b+c=-3-3+6=0

=>m₁=1(nhận) ; m₂=\(\frac{c}{a}\)=-2( nhận)

Vậy m=1 và m=-2 thì thoả mãn hệ thức

a) Ta có: \(\Delta'=\left(-m\right)^2+m+1=m^2+m+1=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}}\)

Theo bài ra, ta có: \(\hept{\begin{cases}S=2x_1+3x_2+3x_1+2x_2=5\left(x_1+x_2\right)=5.2m=10m\\P=\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)=6x_1^2+13x_1x_2+6x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}S=10m\\P=6.\left(2m\right)^2-m-1=24m^2-m-1\end{cases}}\)

Hai nghiệm 2x₁ + 3x₂ và 3x₁ + 2x₂ là nghiệm của pt \(x^2-10mx+24m^2-m-1=0\)

b) Theo bài ra, ta có:

\(\left|2x_1+3x_2\right|+\left|3x_1+2x_2\right|=30\)

<=> \(\left(2x_1+3x_2\right)^2+\left(3x_1+2x_2\right)^2+2\left|\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)\right|=900\)

<=> \(\left(2x_1+3x_2+3x_1+2x_2\right)^2-2\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)

<=> \(\left(10m\right)^2-2\left(24m^2-m-1\right)+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)

<=> \(52m^2+2m+2+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)

<=> \(\left|24m^2-m-1\right|=449-26m^2-m\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}24m^2-m-1=449-26m^2-m\left(đk:m\ge\frac{1+\sqrt{97}}{48}hoặcx\le\frac{1-\sqrt{97}}{48}\right)\\24m^2-m-1=26m^2+m-449\left(đk:\frac{1-\sqrt{97}}{48}\le x\le\frac{1+\sqrt{97}}{48}\right)\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}50m^2=1\\2m^2+2m-448=0\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}m=\pm\frac{1}{5\sqrt{2}}\\m^2+m-224=0\end{cases}}\) (\(\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{5\sqrt{2}}\left(ktm\right)\\m=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\left(tm\right)\end{cases}}\))

<=> \(m^2+m-224=0\)(có 2 nghiệm ko thõa mãn -> tự tính)

a) \(\Delta'=m^2+m+1>0\forall m\). Do đó phương trình cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}}\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}5\left(x_1+x_2\right)=10m\\\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)=6\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=24m^2-m-1\end{cases}}\)

Áp dụng định lí Viet đảo ta có được phương trình:

\(X^2-10mX+24m^2-m-1=0\left(1\right)\) nhận \(2x_1+3x_2\) và \(3x_1+2x_2\) làm nghiệm.

b) Để \(\left(1\right)\) có nghiệm thì \(100m^2\ge4\left(24m^2-m-1\right)\Leftrightarrow4m^2+4m+4\ge0\left(đ\right)\)

Ta có \(\left|X_1\right|+\left|X_2\right|=30\Leftrightarrow\left(X_1+X_2\right)^2-2X_1X_2+2\left|X_1X_2\right|-900=0\)

\(\Rightarrow100m^2-2\left(24m^2-m-1\right)+2\left|24m^2-m-1\right|+900=0\)

+) Nếu \(24m^2-m-1\ge0\) thì \(100m^2+900=0\Leftrightarrow m=\pm3\)

+) Nếu \(24m^2-m-1< 0\) thì \(4m^2+4m+904=0\)(Vô nghiệm)

Vậy \(m=\pm3.\)

Chữa: 

Nếu \(24m^2-m-1\ge0\) thì \(100m^2-900=0\Leftrightarrow m=\pm3\)

Nếu \(24m^2-m-1< 0\) thì \(4m^2+4m-896=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{-1+\sqrt{897}}{2}\\m=\frac{-1-\sqrt{897}}{2}\end{cases}}\)

Loại TH2 vì không thỏa mãn \(24m^2-m-1< 0\)

Vậy \(m=\pm3\)

PT có 2 nghiệm khi:

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m-1\right)=\left(m-1\right)\left(m-5\right)\ge0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 1\\m>5\end{matrix}\right.\)

Theo Vi-ét: $\begin{cases} x_1+x_2=m-1\\ x_1x_2=m-1 \end{cases}$

Ta có $x_1+2x_2+x_1x_2=m$

\(\Leftrightarrow\left(x_1+ x_2\right)+x_1x_2+x_2=m\\ \Leftrightarrow m-1+x_2+m-1=m\\ \Leftrightarrow x_2=-m+2\)

Mà \(x_1+x_2=m-1\Leftrightarrow x_1=m-1+m-2=2m-3\)

Thay vào $x_1x_2=m-1$

\(\Leftrightarrow\left(2m-3\right)\left(-m+2\right)=m-1\\ \Leftrightarrow2m^2-6m+5=0\left(\text{vô nghiệm}\right)\)

Vậy không có giá trị của \(m\) thỏa mãn

`1)` Ptr có: `\Delta=3^2-4.5.(-1)=29 > 0 =>`Ptr có `2` nghiệm phân biệt

 `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=-3/5),(x_1.x_2=c/a=-1/5):}`

Có: `A=(3x_1+2x_2)(3x_2+x_1)`

     `A=9x_1x_2+3x_1 ^2+6x_2 ^2+2x_1x_2`

    `A=8x_1x_2+3(x_1+x_2)^2=8.(-1/5)+3.(-3/5)^2=-13/25`

Vậy `A=-13/25`

____________________________________________________

`2)` Ptr có: `\Delta'=(-1)^2-7.(-3)=22 > 0=>` Ptr có `2` nghiệm pb

 `=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2/7),(x_1.x_2=c/a=-3/7):}`

Có: `M=[7x_1 ^2-2x_1]/3+3/[7x_2 ^2-2x_2]`

     `M=[(7x_1 ^2-2x_1)(7x_2 ^2-2x_2)+9]/[3(7x_2 ^2-2x_2)]`

    `M=[49(x_1x_2)^2-14x_1 ^2 x_2-14x_1 x_2 ^2+4x_1x_2+9]/[3(7x_2 ^2-2x_2)]`

   `M=[49.(-3/7)^2-14.(-3/7)(2/7)+4.(-3/7)+9]/[3x_2(7x_2-2)]`

   `M=6/[x_2(7x_2-2)]`   `(1)`

Có: `x_1+x_2=2/7=>x_1=2/7-x_2`

 Thay vào `x_1.x_2=-3/7 =>(2/7-x_2)x_2=-3/7`

      `<=>-x_2 ^2+2/7 x_2+3/7=0<=>x_2=[1+-\sqrt{22}]/7`

`@x_2=[1+\sqrt{22}]/7=>M=6/[[1+\sqrt{22}]/7(7 .[1+\sqrt{22}]/2-2)]=2`

`@x_2=[1-\sqrt{22}]/7=>M=6/[[1-\sqrt{22}]/7(7 .[1-\sqrt{22}]/2-2)]=2`

Vậy `M=2`

\(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-3=0\)

có: \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2-3\right)=-2m+4\)

Phương trình có hai nghiệm <=> \(-2m+4\ge0\Leftrightarrow m\le2\)(@@)

Vì \(x_1\)là nghiệm của phương trình nên ta có: \(x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+m^2-3=0\)(1)

mà \(\left(x_1\right)^2+4x_1+2x_2-2mx_1=1\)(2) 

Lấy (1) - (2) ta có: \(-2x_1-2x_2+m^2-3=-1\)

<=> \(-2\left(x_1+x_2\right)+m^2-2=0\)

<=> -  \(4\left(m-1\right)+m^2-2=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}m=2+2\sqrt{2}\left(kotm\right)\\m=2-2\sqrt{2}\left(tm@@\right)\end{cases}}\)

Vậy \(m=2-\sqrt{2}\)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2+3=-2m+4\ge0\Leftrightarrow m\le2\)

Định lý Vi-et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{cases}}\)

Vì x₁ là nghiệm của phương trình nên \(x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+m^2-3=0\Leftrightarrow x_1^2-2mx_1=-2x_1-m^2+3\left(1\right)\)

Theo đề \(x_1^2+4x_1+2x_2-2mx_1=1\Leftrightarrow x_1^2-2mx_1+4x_1+2x_2=1\left(2\right)\)

Thay (1) vào (2) ta có \(-2x_2-m^2+3+4x_1+2x_2=1\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)-m^2+2=0\Leftrightarrow4\left(m-1\right)-m^2+2=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+2=0\)

\(\Leftrightarrow m=2\pm\sqrt{2}\)

So với điều kiện đề bài ta có \(m=2-\sqrt{2}\)

lớp mấy mà khó vậy