Question

bài 1: cho phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\)

Tìm m sao cho

a)phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)

b)phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn\(P=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\) nhỏ nhất

Answer 1

a)

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

\(=\left(-2m-4\right)^2-4\left(m-3\right)\)

\(=4m^2+16m+16\ge0\forall x\)

Suy ra: Phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Viet, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1\cdot x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)

\(\Leftrightarrow4\cdot x_1x_2+2\cdot\left(x_1+x_2\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-3\right)+2\left(2m+4\right)+1=8\)

\(\Leftrightarrow4m-12+4m+8+1=8\)

\(\Leftrightarrow8m=8+12-8-1\)

\(\Leftrightarrow8m=11\)

hay \(m=\dfrac{11}{8}\)

Answer 2

Tiếp tục với bài của bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh 

b) 

Ta có: \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(\Rightarrow P=4m^2+11m+31=4m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{11}{2}+\dfrac{121}{4}+\dfrac{3}{4}\) \(=\left(2m+\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

  Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow2m+\dfrac{11}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}\)

  Vậy \(P_{Min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(m=-\dfrac{11}{4}\)