Question

Cho phương trình: \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-2=0\), với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho \(x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-3x_1\right)=9\)

Answer 1

Ta có a=1\(\ne0\)

\(\Rightarrow\) phương trình đã cho là phương trình bậc hai

\(\Delta=9>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lý Vi ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

Ta có:\(x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-3x_1\right)=9\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2\)=9

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2x_1x_2-3x_1x_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-7x_1x_2\)=9

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-7\left(m^2+m-2\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=1\end{matrix}\right.\)

Vậy m=-2;m=1 là các giá trị cần tìm

Answer 2

Pt: $x^{}$${}^{}-\left(2m+1\right)x+m^2+m-2=\mathrm{0\; (a=1;\; b=-(2m+1)\; ;c=m2+m-2\; )}$

Δ=b²-4ac=[-(2m+1)]²-4(m²+m-2)=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9

Vì Δ >0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀ m

Theo hệ thức vi et:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m+1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+m-2\end{matrix}\right.\)

${\mathrm{Biểu\; thức:}}^{}$

$x_1\left(x_1-2x_2\right)+x_2\left(x_2-3x_1\right)=9$

=x₁²-2x₁x₂ +x₂²- 3x₁x₂=9

= x₁²+x₂²-5x₁x₂=9

=(x₁+x₂)²-2x₁x₂-5x₁x₂=9

=(x₁+x₂)²-7x₁x₂=9

=(2m+1)²-7(m²+m-2)=9

=4m²+4m+1-7m²-7m+14=9

=-3m²-3m+15=9

=-3m²-3m+6=0 a+b+c=-3-3+6=0

=>m₁=1(nhận) ; m₂=\(\frac{c}{a}\)=-2( nhận)

Vậy m=1 và m=-2 thì thoả mãn hệ thức