1a)Xét a² + 5 - 4a =a² - 4a + 4+1=(a - 2)²+1\(\ge\)1 hay (a -2)² + 1 > 0 

\(\Rightarrow\)Đpcm

  b)Xét 3(a² + b² + c²) -(a + b +c)² =3a² + 3b² + 3c² - a² - b² - c² - 2ab - 2ac - 2bc

                                                  =2a² + 2b² + 2c²  - 2ab - 2ac - 2bc

                                                  =(a - b)² + (a - c)² + (b - c)²\(\ge\)0 (với mọi a,b,c)

\(\Rightarrow\)Đpcm

2)Xét A=\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+c+b\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)

         áp dụng cô-sy

\(\Rightarrow\)A\(\ge\)9

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)

\(M=4a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\left(a+c\right)+b^2c^2=4\left[a\left(a+b+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\right]+b^2c^2\)

\(=4\left(a^2+ab+ac\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)+b^2c^2\)

\(=4\left(a^2+ab+ac\right)^2+4bc\left(a^2+ab+ac\right)+b^2c^2\)

\(=\left[2\left(a^2+ab+ac\right)+bc\right]^2\)là số chính phương

a, \(\left(a+1\right)^2\ge4a\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

b, Áp dụng bđt Cô-si

\(a+1\ge2\sqrt{a}\)

\(b+1\ge2\sqrt{b}\)

\(c+1\ge2\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

                                                               \(=8\sqrt{abc}=8\)(ĐPCM)

Dấu "=" khi a = b = c =1

a, \(\left(a-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1>4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a.\)

b, Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :

( a + 1 )² > 4a \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge2\sqrt{a}\)

mà \(\sqrt{\left(a+1\right)^2}=\left|a+1\right|\)

Do a > 0 nên a + 1 > 0. Vậy | a + 1 | = a + 1.

Khi đó : a + 1 > \(2\sqrt{a}\)

Tương tự ta có : 

b + 1 > \(2\sqrt{b}\)và c + 1 > \(2\sqrt{c}\)

=> ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) > \(8\sqrt{abc}=8.\)

\(M=4\left[a\left(a+b+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)\left(a+c\right)\right]+b^2c^2\)

=4(a^2+ab+ac)(a^2+ab+bc+ac)+b^2c^2

=4(a^2+ab+ac)^2+4*bc(a^2+ab+ac)+b^2c^2

=(2a^2+2ab+2ac+bc)^2 là số chính phương

\(\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2\\ =\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\\ =\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\\ =-\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)

Tổng 2 cạnh tam giác > cạnh thứ 3 nên cả 4 thừa số trên đều dương.

=> đpcm

a) Có: \(\left(a-1\right)^2\ge0,\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)

=>đpcm

b) Áp dụng bđt trên ta có:

\(\left(a+1\right)^2\ge4a\) (1)

\(\left(b+1\right)^2\ge4b\) (2)

\(\left(c+1\right)^2\ge4c\) (3)

Nhân vế vs vế (1) ; (2);(3) ta đc:

\(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge4a\cdot4b\cdot4c=64abc=64\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)

a) Theo Caucy thì: a²+b²>= 2ab.

=>(a+1)²=a²+1+2a>=4a

b) Theo Cauchy thì : a+b>=2\(\sqrt{ab}\)

Bài 1:
Giải:

Ta có: \(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\) (1)

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)

\(4.\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}-2.\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\right]}{\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2}{\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Vậy ta có điều phải chúng minh. Dấu hằng đẳng thức xảy ra khi  \(a=b=c\)

-Chúc bạn học tốt-