Kẻ đg cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G

Tg AHD vuông tại H nên \(AH\le AD\Rightarrow\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(4\right)\)

Ta có \(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(1\right)\)

Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng vs ch BC

\(\Rightarrow BC=2GD\left(2\right)\)

Mà G là trọng tâm nên \(3GD=AD\left(3\right)\)

 \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\ge\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2GD}{3GD}=\dfrac{2}{3}\)

Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)

cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)

3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)

từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)

\(\cot B+\cot C=\frac{BD}{AD}+\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AD}=\frac{BC}{3GH}\ge\frac{2GH}{3GH}=\frac{2}{3}\)
VỚI D LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ A XUÔNG BC , G LÀ TRỌNG TÂM , H LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ G XUỐNG BC
B2 THÌ GIẢI BÌNH THƯỜNG =='. ĐỌC THÊM NCPT 9 NHÉ