Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Hoang Gia Huy
Xem chi tiết
Phạm Trung Đức
6 tháng 1 2022 lúc 19:49

Nếu cái j?

 

Xem chi tiết
Hoàng Hưng Đạo
Xem chi tiết
missing you =
15 tháng 5 2021 lúc 6:14

đặt x/a=y/b=z/c=k

=>x=a.k,

y=b.k

z=c.k

=>(a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2)(a^2+b^2+c^2)=k^2.(a^2+b^2+c^2)^2(1)

(ax+by+cz)^2=(a.a.k+b.b.k+c.c.k)^2=(a^2.k+b^2.k+c^2.k)^2

=k^2(a^2+b^2+c^2)(2)

từ (1)(2)=> nếu x/a=y/b=z/c thì (x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2) = (ax + by + cz)2

 

=>

 

 

 

Kuba Stankiewicz
Xem chi tiết
Trần Khánh Linh
Xem chi tiết
minhduc
Xem chi tiết
minhduc
26 tháng 10 2017 lúc 18:24

Bài 8:

Cho các số thực a,b,c,x,y thỏa mãn ax−by=√3ax−by=3.

Tìm GTNN của F=a2+b2+x2+y2+bx+ayF=a2+b2+x2+y2+bx+ay

Lời giải:

Sử dụng giả thiết ax−by=√3ax−by=3 ta có:

(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ax−by)2=(ax+by)2+3

Áp dụng bất đẳng thức CauchyCauchy , suy ra:

a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2√(a2+b2)(x2+y2)=2√(ax+by)2+3a2+b2=x2+y2=(a2+b2)+(x2+y2)≥2(a2+b2)(x2+y2)=2(ax+by)2+3

Do đó, ta đưa về bài toán tìm GTNN của: 2√x2+3+x2x2+3+x trong đó x=ax+byx=ax+by

Ta có:

(2√x2+3+x)2=4(x2+3)+4x√x2+3+x2=(x2+3)+4x√x2+3+4x2+9=(√x2+3+2x)2+9≥9(2x2+3+x)2=4(x2+3)+4xx2+3+x2=(x2+3)+4xx2+3+4x2+9=(x2+3+2x)2+9≥9

⇒2√x2+3+x≥3⇒2x2+3+x≥3

Vậy MinT=3MinT=3

Bài 11:Cho các số a,b,c không âm không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng;

∑2a2−bcb2−bc+c2≥3∑2a2−bcb2−bc+c2≥3

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử bb là số nằm giữa aa và cc

BĐT đã cho tương đương với

∑2a2+(b−c)2b2−bc+c2≥6∑2a2+(b−c)2b2−bc+c2≥6

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

∑2a2b2−bc+c2≥2(a2+b2+c2)2∑a2(b2−bc+c2)=2(a2+b2+c2)22∑a2b2−abc∑a∑2a2b2−bc+c2≥2(a2+b2+c2)2∑a2(b2−bc+c2)=2(a2+b2+c2)22∑a2b2−abc∑a

∑(b−c)2b2−bc+c2≥[a(b−c)+b(a−c)+c(a−b)]22∑a2b2−abc∑a=4b2(a−c)22∑a2b2−abc∑a∑(b−c)2b2−bc+c2≥[a(b−c)+b(a−c)+c(a−b)]22∑a2b2−abc∑a=4b2(a−c)22∑a2b2−abc∑a

Do đó ta chỉ cần chứng minh

(a2+b2+c2)2+2b2(a−c)2≥6∑a2b2−3abc∑a(1)(a2+b2+c2)2+2b2(a−c)2≥6∑a2b2−3abc∑a(1)

Ta có 

b2(a−c)2=[a(b−c)+c(a−b)]2=a2(b−c)2+c2(a−b)2+2ac(a−b)(b−c)b2(a−c)2=[a(b−c)+c(a−b)]2=a2(b−c)2+c2(a−b)2+2ac(a−b)(b−c)

≥a2(b−c)2+c2(a−b)2≥a2(b−c)2+c2(a−b)2

Suy ra 

2b2(a−c)2≥a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)22b2(a−c)2≥a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2

⇒VT(1)≥(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a⇒VT(1)≥(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a

Do đó ta chỉ còn phải chứng minh 

(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a≥6∑a2b2−3abc∑a(∑a2)2+2∑a2b2−2abc∑a≥6∑a2b2−3abc∑a

⇔∑a4+abc∑a≥2∑a2b2⇔∑a4+abc∑a≥2∑a2b2

BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT Schur

∑a4+abc∑a≥∑ab(a2+b2)∑a4+abc∑a≥∑ab(a2+b2)

Và BĐT AM-GM

∑ab(a2+b2)≥2∑a2b2∑ab(a2+b2)≥2∑a2b2

Kết thúc chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi a=b=ca=b=c hoặc a=ba=b, c=0c=0 và các hoán vị.

Sakuraba Laura
26 tháng 10 2017 lúc 18:27

Bạn leminhduc tự hỏi tự trả lời à

Nguyễn Hương Ly
Xem chi tiết
Hoàng Lê Bảo Ngọc
12 tháng 7 2016 lúc 11:55

Ta có : \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2axby\)

\(\Leftrightarrow\left(ay\right)^2-2.ay.bx+\left(bx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\Leftrightarrow ay-bx=0\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Hoai Nhan Tran
Xem chi tiết
lê thị hương giang
7 tháng 1 2018 lúc 19:19
\(a,\dfrac{2x+2y}{a^2+2ab+b^2}.\dfrac{ax-ay+bx-by}{2x^2-2y^2}\)

\(=\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{a\left(x-y\right)+b\left(x-y\right)}{2\left(x^2-y^2\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{\left(x-y\right)\left(a+b\right)}{2\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\dfrac{1}{a+b}\)


\(b,\dfrac{a+b-c}{a^2+2ab+b^2-c^2}.\dfrac{a^2+2ab+b^2+ac+bc}{a^2-b^2}\)

\(=\dfrac{a+b-c}{\left(a+b\right)^2-c^2}.\dfrac{\left(a+b\right)^2+c\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{a+b-c}{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}.\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{1}{a-b}\)

\(c,\dfrac{x^3+1}{x^2+2x+1}.\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+2}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}.\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right)}\) \(=\dfrac{x-1}{2}\) \(d,\dfrac{x^8-1}{x+1}.\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)}\) \(=\dfrac{\left(x^4\right)^2-1}{x+1}.\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)}\) \(=\dfrac{\left(x^4-1\right)\left(x^4+1\right)}{x+1}.\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)}\) \(=\dfrac{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}{x+1}.\dfrac{1}{x^2+1}\) \(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x+1}\) \(=x-1\) \(e,\dfrac{x-y}{xy+y^2}-\dfrac{3x+y}{x^2-xy}.\dfrac{y-x}{x+y}\) \(=\dfrac{x-y}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{3x+y}{x\left(x-y\right)}.\dfrac{-\left(x-y\right)}{x+y}\) \(=\dfrac{x-y}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{3x+y}{x}.\dfrac{-1}{x+y}\) \(=\dfrac{x-y}{y\left(x+y\right)}-\dfrac{-3x-y}{x\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{x\left(x-y\right)+y\left(3x+y\right)}{xy\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{x^2-xy+3xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}\) \(=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{x+y}{xy}\)
Phùng Ngọc Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Huyền Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
10 tháng 7 2021 lúc 21:38

Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2axby\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow ay=bx\)

hay \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿
10 tháng 7 2021 lúc 21:41

Ta có : \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow ay-bx=0\)

\(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}\)