Xét trên các miền xác định của các hàm (bạn tự tìm miền xác định)

a.

\(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{6-x}}=\dfrac{\sqrt{6-x}-\sqrt{x-3}}{2\sqrt{\left(x-3\right)\left(6-x\right)}}\)

\(y'=0\Rightarrow6-x=x-3\Rightarrow x=\dfrac{9}{2}\)

\(x=\dfrac{9}{2}\) là điểm cực đại của hàm số

b.

\(y'=1-\dfrac{9}{\left(x-2\right)^2}=0\Rightarrow\left(x-2\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(x=-1\) là điểm cực đại, \(x=5\) là điểm cực tiểu

c.

\(y'=\sqrt{3-x}-\dfrac{x}{2\sqrt{3-x}}=0\Rightarrow2\left(3-x\right)-x=0\)

\(\Rightarrow x=2\) 

\(x=2\) là điểm cực đại

d.

\(y'=\dfrac{-x^2+4}{\left(x^2+4\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(x=-2\) là điểm cực tiểu, \(x=2\) là điểm cực đại

e.

\(y'=\dfrac{-8\left(x^2-5x+4\right)}{\left(x^2-4\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=4\end{matrix}\right.\)

\(x=1\) là điểm cực tiểu, \(x=4\) là điểm cực đại

a)x khác 1;2      b)x khác 2;1/2   c)x khác -1     d)x khác 1     e x>/=-2

ĐKXĐ: \(2x-x^3>=0\)

=>\(x^3-2x< =0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x< =-\sqrt{2}\\0< =x< =\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(y=\sqrt{2x-x^3}\)

=>\(y'=\dfrac{\left(2x-x^3\right)'}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}=\dfrac{2-3x^2}{2\cdot\sqrt{2x-x^3}}\)

Đặt y'=0

=>\(2-3x^2=0\)

=>\(3x^2=2\)

=>\(x^2=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\left(nhận\right)\\x=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Khi \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\) thì \(y=\sqrt{2\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^3}\)

\(=\sqrt{\dfrac{4\sqrt{6}}{9}}=\dfrac{2}{3}\cdot\sqrt{\sqrt{6}}\)

Câu 1: 

a) 

b) Ta có: f(x)=8

\(\Leftrightarrow2x^2=8\)

\(\Leftrightarrow x^2=4\)

hay \(x\in\left\{2;-2\right\}\)

Vậy: Để f(x)=8 thì \(x\in\left\{2;-2\right\}\)

Ta có: \(f\left(x\right)=6-4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2=6-4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2=3-2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)

hay \(x=\sqrt{2}-1\)

Vậy: Để \(f\left(x\right)=6-4\sqrt{2}\) thì \(x=\sqrt{2}-1\)

Hàm xác định trên \(\left[2;3\right]\) khi và chỉ khi:

\(x^2-2x-m>0;\forall x\in\left[2;3\right]\)

\(\Rightarrow x^2-2x>m;\forall x\in\left[2;3\right]\)

\(\Rightarrow m< \min\limits_{\left[2;3\right]}\left(x^2-2x\right)\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-2x\) trên \(\left[2;3\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=1\notin\left[2;3\right]\)

\(f\left(2\right)=0\) ; \(f\left(3\right)=3\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;3\right]}\left(x^2-2x\right)=0\)

\(\Rightarrow m< 0\)

1, \(y=2-sin\left(\dfrac{3x}{2}+x\right).cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)

 \(y=2-\left(-cosx\right).\left(-sinx\right)\)

y = 2 - sinx.cosx

y = \(2-\dfrac{1}{2}sin2x\)

Max = 2 + \(\dfrac{1}{2}\) = 2,5

Min = \(2-\dfrac{1}{2}\) = 1,5

2, y = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}sin^22x}\)

Min = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Max = \(\sqrt{5}\)

Tập xác định : \(D=\)(\(-\infty;-\sqrt{3}\)] \(\cup\) [\(\sqrt{3};+\infty\))

Ta có : \(y'=2-\frac{x}{\sqrt{x^2-3}}=\frac{2\sqrt{x^2-3}-x}{\sqrt{x^2-3}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-3}=x\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge0\\4\left(x^2-3\right)=x^2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x=2\)

Và hàm số không có đạo hàm tại \(x=\pm\sqrt{3}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;y\left(2\right)=3\)

Hàm số không có cực đại 

a. Hàm có 3 cực trị \(\Rightarrow m< 0\)

\(y'=8x^3+4mx=4x\left(2x^2+m\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=-\dfrac{3m}{2}\\x=-\sqrt{-\dfrac{m}{2}};y=-\dfrac{m^2+3m}{2}\\x=\sqrt{-\dfrac{m}{2}};y=-\dfrac{m^2+3m}{2}\end{matrix}\right.\)

Trong đó \(A\left(0;-\dfrac{3m}{2}\right)\) là cực đại và B, C là 2 cực tiêu

Do tam giác ABC luôn cân tại A \(\Rightarrow\) tâm I của đường tròn ngoại tiếp luôn nằm trên trung trực BC hay luôn nằm trên Oy

Mà tứ giác ABCO nội tiếp \(\Rightarrow OI=AI\Rightarrow I\)  là trung điểm OA (do I, O, A thẳng hàng, cùng nằm trên Oy)

\(\Rightarrow I\left(0;-\dfrac{3m}{4}\right)\)

Mặt khác trung điểm BC cũng thuộc Oy và IB=IC (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp)

\(\Rightarrow\) I trùng trung điểm BC

\(\Rightarrow-\dfrac{3m}{4}=-\dfrac{m^2+3m}{2}\) \(\Rightarrow m\)

b.

Từ câu a ta thấy khoảng cách giữa 2 cực đại là:

\(\left|x_B-x_C\right|=2\sqrt{-\dfrac{m}{2}}=5\Rightarrow m=-\dfrac{25}{2}\)

Opps, phần a lý luận bị nhầm lẫn.

Từ việc IB=IC, và trung điểm BC thuộc Oy ko thể dẫn tới kết luận I là trung điểm BC (vì I, B, C ko thẳng hàng)

Do đó phải sửa lại:

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IB}=\left(-\sqrt{-\dfrac{m}{2}};\dfrac{-2m^2-3m}{4}\right)\\\overrightarrow{IO}=\left(0;\dfrac{3m}{4}\right)\end{matrix}\right.\)

\(IB=IO\Rightarrow-\dfrac{m}{2}+\left(\dfrac{-2m^2-3m}{4}\right)^2=\left(\dfrac{3m}{4}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^4+3m^3-2m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m+1\right)\left(m^2+2m-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=-1\\m=-1+\sqrt{3}\left(loại\right)\\m=-1-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

a.

\(y'=\dfrac{3}{cos^2\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)}-\dfrac{2}{sin^2\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)}-sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

b.

\(y'=\dfrac{\dfrac{\left(2x+1\right)cosx}{2\sqrt{sinx+2}}-2\sqrt{sinx+2}}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{\left(2x+1\right)cosx-4\left(sinx+2\right)}{\left(2x+1\right)^2}\)

c.

\(y'=-3sin\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)-2cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\)