\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm:

`a^4+b^4+b^4+b^4>=4\root4{a^4b^12}=4|ab^3|>=4ab^3`

Hoàn toàn tương tự:

`b^4+a^4+a^4+a^4>=4a^3b`

`=>a^4+b^4+b^4+b^4+b^4+a^4+a^4+a^4>=4ab^3+4a^3b`

`<=>4(a^4+b^4)>=4(ab^3+a^3b)`

`<=>a^4+b^4>=ab^3+a^3b`

https://edward29.github.io/surprise/

a²+b²+3-2a-2b-2c≥0

=> (a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)≥0

=> (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²≥0 ( luon dung )

`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`

`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`

`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)

     `=>` Đẳng thức được c/m

_________________________________________

`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`

`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`

`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`

`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)

         `=>` Đẳng thức được c/m

a. Ta có :

\(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\Leftrightarrow\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\ge\left|x+y\right|^2=\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2\left|xy\right|\ge x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow2\left|xy\right|\ge2xy\Leftrightarrow\left|xy\right|\ge xy\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra <=> x và y cùng dấu 

Điều cần cm là vô ngĩa 

VD

\(A\in Y=\left\{A;M:N:\right\}\)

\(B\in C=\left\{1;2;3;B\right\}\)

\(A\notin C\)

Nếu A thuộc tập hợp Y và B thuộc tập hợp C thì A thuộc tập hợp C thì điều này vô nghĩa