CMR : a + b + 2a2+ 2b2 ≥ 2ab + 2b\(\sqrt{a}+2a\sqrt{b}\) ( a,b ≥ 0)
Rút gọn biểu thức M=\(\sqrt{a^4}\)-\(a\sqrt{a^2}\)-\(\dfrac{b}{2}\sqrt{4b^2}\)-b2 (a≤0; b≥0) ta được:
A.2b2 B.2a2 C.0 D.2(a2-b2)
\(M=a^2-a\left|a\right|-\dfrac{b}{2}\cdot2\left|b\right|-b^2\\ M=a^2+a^2-b^2-b^2\\ M=2\left(a^2-b^2\right)\\ D\)
cho a, b >0. hãy đơn giản biểu thức \(\frac{\sqrt{a^{3^{ }}+2a^2b}+\sqrt{a^4+2ab}-\sqrt{a^3}-a^2b}{\sqrt{\left(2a+b-\sqrt{a^2+2ab}\right)}.\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[6]{a^5}+a\right)}\)
cho a,b,c >0 hãy đơn giản bt :
A=\(\frac{\sqrt{a^3+2a^2b}+\sqrt{a^4+2a^3b}-\sqrt{a^3}-a^2b}{\sqrt{2a+b-\sqrt{a^2+2ab}}.\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[6]{a^5}+a\right)}\)
Cho a,b > 0. Hãy đơn giản biểu thức :
\(T=\frac{\sqrt{a^3+2a^2b}+\sqrt{a^4+2a^3b}-\sqrt{a^3}-a^2b}{\sqrt{\left(2a+b-\sqrt{a^2+2ab}\right)}.\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[6]{a^5}+a\right)}\)
bài này mình cũng dò lại đề rồi mình chép đúng đấy mà không làm được nên mới nhờ giải
Cố gắng hơn nữa bạn cho mình biết là cái đề này bạn chép từ bộ đề nào để mình lên mạng tìm thử xem sao. Biết đâu cái đề bạn cầm trên tay nó bị lỗi đánh máy thì sao.
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a+b+c=3 và \(M=\sqrt{a^2+2ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2bc+2c^2}+\sqrt{c^2+2ca+2a^2}\). CMR: \(M\ge3\sqrt{5}\)
\(M=\sqrt{a^2+2ab+b^2+b^2}+\sqrt{b^2+2bc+c^2+c^2}+\sqrt{c^2+2ca+a^2+a^2}\)
\(M=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(b^{ }+c\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2+a^2}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2+3^2}\ge\sqrt{6^2+3^2}\ge3\sqrt{5}\)
\(dấu\)\("="xảy\) \(ra\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cách khác:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$5(a^2+2ab+2b^2)=[(a+b)^2+b^2](2^2+1^2)\geq [2(a+b)+b]^2$
$\Rightarrow \sqrt{5(a^2+2ab+b^2)}\geq 2a+3b$
Tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế:
$M\sqrt{5}\geq 5(a+b+c)$
$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{5}(a+b+c)=3\sqrt{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
cho a,b > 0. Hãy đơn giản biểu thức:
\(T=\frac{\sqrt{a^3+2a^2b}+\sqrt{a^4+2a^3b}-\sqrt{a^3}-a^2b}{\sqrt{\left(2a+b-\sqrt{a^2+2ab}\right)}.\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[6]{a^5}+a\right)}\)
\(\frac{\sqrt{a^3+2a^2b}+\sqrt{a^4+2a^3b}-\sqrt{a^3}-a^2b}{\sqrt{\left(2a+b-\sqrt{a^2+2ab}\right)}.\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[6]{a^5}+a\right)}\)
T=\(\frac{\sqrt{a^3+2a^2b}}{\sqrt{\left(2a+b-\sqrt{a^2+2ab}\right)}}\)
Cho a, b, c>0. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{a+2b}}+\sqrt{\frac{b}{b+2c}}+\sqrt{\frac{c}{c+2a}}>1\)
Lời giải:
Với $a,b,c>0$ dễ thấy $0< \frac{a}{a+2b}< 1$
$\Rightarrow 0< \sqrt{\frac{a}{a+2b}}< 1$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{a+2b}}> \frac{a}{a+2b}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:
$\text{VT}> \frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2ba+b^2+2cb+c^2+2ac}=1$
Do đó $\text{VT}>1$ (đpcm)
Sử dụng BĐT AM-GM:
\(VT=\sum\limits_{cyc} \sqrt{\frac{a}{a+2b}} =\sum\limits_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a(a+2b}}\geq \sum\limits_{cyc} \frac{2a}{2(a+b)}\)
\(=\sum\limits_{cyc} \frac{a^2}{a^2 +ab} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} >\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca} = 1\) (đpcm)
P/s: Em không chắc lắm.