c.

Từ M kẻ \(MH\perp SC\) (H thuộc SC)

\(\Rightarrow H\in\left(\alpha\right)\Rightarrow\) thiết diện là tam giác BMH

Do \(\left\{{}\begin{matrix}BM\perp\left(SAC\right)\\MH\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BM\perp MH\Rightarrow\Delta BMH\) vuông tại M

Trong tam giác vuông ABC: \(BM=\dfrac{1}{2}AC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Hai tam giác vuông CHM và CAS đồng dạng (chung góc C)

\(\Rightarrow\dfrac{MH}{SA}=\dfrac{CM}{SC}\Rightarrow MH=\dfrac{SA.CM}{SC}=\dfrac{SA.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow S_{BMH}=\dfrac{1}{2}BM.MH=\dfrac{a^2\sqrt{5}}{10}\)

Đáp án C

Kẻ I M ⊥ S D tại M Đường thẳng  I M ⊂ m p P

ABCD là hình vuông ⇒ C D ⊥ A D  mà  S A ⊥ C D ⇒ C D ⊥ S A D

Ta có P ⊥ A D  mà  C D ⊥ A D ⇒ C D / / m p P

Qua I kẻ đường thẳng song song với CD, cắt BC tại P

Qua M kẻ đường thẳng song song với CD, cắt SC tại N

Suy ra mặt phẳng (P) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang vuông IMNP tại M và I.

Tam giác SAD vuông tại A có  d A ; S D = a 3 ⇒ I M = a 3 2

Tam giác IMD vuông tại M có  M D = I D 2 − I M 2 = a 2 ⇒ S M S D = 7 8 ⇒ M N = 7 a 4

Vậy diện tích hình thang IMNP là  S = I M . M N + I P 2 = a 3 2 . 1 2 . 7 a 4 + 2 a = 15 3 16 a 2

Đáp án A.

Gọi N, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD ⇒ M N ⊥ A B M Q ⊥ A B .  

Qua N kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SC tại P.

Suy ra thiết diện của mặt phẳng α  và hình chóp là MNPQ.

Vì MQ là đường trung bình của hình tháng ABCD ⇒ M Q = 3 a 2 .

MN là đường trung bình của tam giác SAB ⇒ M N = S A 2 = a . 

NP là đường trung bình của tam giác SBC ⇒ N P = B C 2 = a 2 . 

Vậy diện tích hình thang MNPQ là S M N P Q = M N . N P + M Q 2 = a 2 a 2 + 3 a 2 = a 2 .

Đáp án D

Đáp án D