a)\(\widehat{C}=\widehat{BAH}=90^O-\widehat{CAH}\)

\(\widehat{B}=\widehat{CAH}=90^O-\widehat{BAH}\)

b)Ta có:

\(\widehat{ADC}=\widehat{B}+\widehat{BAD}=\widehat{B}+\frac{\widehat{BAH}}{2}=\widehat{B}+\widehat{\frac{C}{2}}\)

Lại có:

\(\widehat{DAC}=180^O-\widehat{C}-\widehat{ADC}=180^O-\widehat{C}-\left(\widehat{B}+\widehat{\frac{C}{2}}\right)=\left(90^O-\widehat{B}\right)-\frac{\widehat{C}}{2}+\left(90^O-\widehat{C}\right)\)

\(=\widehat{C}-\widehat{\frac{C}{2}}+\widehat{B}=\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}\)

Suy ra:\(\widehat{ADC}=\widehat{DAC}\)

\(\Rightarrow\Delta ADC\)cân tại C

c)\(DK\perp BC;AH\perp BC\Rightarrow DK//AH\)

\(\Rightarrow\widehat{KDA}=\widehat{DAH}\)(hai góc so le trong)

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAH}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{KDA}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta KAD\)cân tại K

d)Xét \(\Delta CDK-\Delta CAK\)

\(\hept{\begin{cases}CD=CA\\KD=KA\\CA.chung\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta CDK=\Delta CAK\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

e)Xét\(\Delta AID-\Delta AHD\)

\(\hept{\begin{cases}AI=AH\\AD.chung\\\widehat{DAI}=\widehat{DAH}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AHD}=90^O\)

\(\Rightarrow DI\perp AB.Mà.AC\perp AB\)

\(\Rightarrow DI//AC\)

d)  Gọi M là giao điểm của HA và KI 

\(\Delta\)HKB = \(\Delta\)HIC ( theo c) 

=> ^BHK = ^CHI mà ^BHA = ^CHA = 90 độ ( AH vuông BC tại H )

=> ^BHA - ^BHK = ^CHA - ^CHI 

=> KHA = ^IHA hay ^KHM = ^IHM (1)

Xét \(\Delta\)IHM và \(\Delta\)KHM có: HK = HI ( \(\Delta\)HKB = \(\Delta\)HIC ) ; ^KHM = ^IHM ( theo (1)) ; HM chung 

=> \(\Delta\)IHM = \(\Delta\)KHM 

=> ^HMK = ^HMI mà ^HMK + ^HMI = 180 độ 

=> ^HMK = ^HMI = 90 độ 

hay HA vuông KI 

mà HA vuông BC 

=> KI // BC

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHC có:
AH chung

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)(do AH _|_ BC)

AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

=> Tam giác AHB=tam giác AHC (đpcm)

b) Xét tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao

=> AH trùng với đường trung tuyến 

=> H là trung điểm BC => HB=HC (đpcm)

a/

*Cách 1:

Ta có: ΔABC cân tại A

=> AC = AB

Và: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Hay: \(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\)

Xét 2 tam giác vuông ΔAHB và ΔAHC có:

AB = AC (cmt)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (cmt)

Do đó: ΔAHB = ΔAHC (c.h - g.n)

*Cách 2:

Xét ΔAHB và ΔAHC có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

AH: cạnh chung

=> ΔAHB = ΔAHC (c.h - c.g.v)

b) Có: ΔAHB = ΔAHC (câu a)

=> HB = HC (2 cạnh tương ứng)

Và: \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (2 góc tương ứng)

c) Xét 2 tam giác vuông ΔEBH và ΔFCH ta có:

Cạnh huyền HB = HC (câu b)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (ΔABC cân tại A)

=> ΔEBH = ΔFCH (c.h - g.n)

d) Sửa đề: EF // BC

Có: ΔEBH = ΔFCH (câu c)

=> EB = FC (2 cạnh tương ứng)

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE+BE=AB\\AF+FC=AC\end{matrix}\right.\)

Mà: EB = FC (cmt) và AB = AC (ΔABC cân tại A)

=> AE = AF

=> ΔAEF cân tại A

=> \(\widehat{AEF}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (1)

Có: ΔABC cân tại A

=> \(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\)

Mà 2 góc này lại là 2 góc đồng vị

=> EF // BC

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

\(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^0)\)

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A)

=>\(\Delta BAM = \Delta CAN\)(g.c.g)

b) Cách 1: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {AMB} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)

Xét tam giác MAC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow {120^o} + \widehat {MAC} + {30^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {MAC} = {30^o} = \widehat C\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Tam giác AMC cân tại M.

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\)

=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

=> BM+MN=CN+NM

=> BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

\(AN = AM\)(do \(\Delta BAM = \Delta CAN\))

BN=MC (cmt)

=>\(\Delta ANB = \Delta AMC\)(c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M.

=> Tam giác ANB cân tại N.

Cách 2: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\)

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

=> \(\widehat {NAM}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\)

=> \(\widehat{BAN} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{BAN}=30^0\)

Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^0\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N.

Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\)

=> \(\widehat{CAM} + 60^0=90^0\)

=> \(\widehat{CAM}=30^0\)

Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^0\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.

a: Xét ΔABD và ΔACD có

AB=AC

BD=CD

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

=>AD là phân giác của góc BAC

b: Sửa đề: DM\(\perp\)AB tại M. Chứng minh AC\(\perp\)DN

Xét ΔAMD và ΔAND có

AM=AN

\(\widehat{MAD}=\widehat{NAD}\)

AD chung

Do đó: ΔAMD=ΔAND

=>\(\widehat{AMD}=\widehat{AND}\)

mà \(\widehat{AMD}=90^0\)

nên \(\widehat{AND}=90^0\)

=>DN\(\perp\)AC

c: Xét ΔKCD và ΔKNE có

KC=KN

\(\widehat{CKD}=\widehat{NKE}\)(hai góc đối đỉnh)

KD=KE

Do đó: ΔKCD=ΔKNE

d: Xét ΔABC có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

nên MN//BC

Ta có: ΔKCD=ΔKNE

=>\(\widehat{KCD}=\widehat{KNE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên NE//DC

=>NE//BC

ta có: NE//BC

MN//BC

NE,MN có điểm chung là N

Do đó: M,N,E thẳng hàng

a) Xét hai tam giác vuông ABH và ACH

có:+AB=AC( \(\Delta ABC\) cân tại A)

      +AH: cạnh chung

Vậy \(\Delta ABH=\Delta ACH\left(ch-cgv\right)\)

=> HB=HC(  hai cạnh tương ứng)

b) Vì \(\Delta ABH=\Delta ACH\left(cmt\right)\)

nên: góc BAH=góc CAH( hai góc tương ứng)

 ^..^ ^_^

a) Xét \(\Delta\nu ABH\) và \(\Delta\nu ACH\) có :

   \(AB=AC\left(gt\right)\)

   \(AH\) là cạnh chung

 Do đó : \(\Delta\nu ABH=\Delta\nu ACH\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow HB=HC\) ( vì hai cạnh tương ứng )

b )  Vì : \(\Delta\nu ABH=\Delta\nu ACH\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

 

a)Xét tam giác ABH và tam giác ACH,có:

AB=AC(vì tam giác ABC cân tại A)

BAH=CAH=90

AH là cạnh chung.

=>tam giác ABH=tam giác ACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>HB=HC (2 cạnh tương ứng)

b) Vì tam giác ABH=tam giác ACH (C/m trên)

=>góc BAH=góc CAH(2 góc tương ứng)

Ghi nhớ:

_ Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh)

_Nếu 1 cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp góc-cạnh-góc).

_Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp góc-cạnh-góc).

_Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

a) Vì AM là phân giác của góc BAM

=> Góc A₁ = góc A₂ 

Mà góc A₁ = góc M₁ ( do AB // MN )

=> Góc A₂ = góc M₁ ( điều phải c/m )

b) Vì Bx là phân giác góc ABC => Góc NBM = 1/2 góc ABC

Vì My là p/g của góc NMC => Góc yMC = 1/2 góc NMC

Mà góc NMC = góc ABC ( do AB // MN )

=> Điều phải c/m

c) Bn tự làm nốt nha

a) Nối A và D lại, ta đc: ΔABD & ΔADC

Ta có: D là trung điểm BC => BD=DC

Xét ΔABD & ΔADC có:

AB=AC(gt) ; BD=DC ; AD=AD

=> ΔADB = ΔADC

1a. Xét △ABD và △ACD có:

\(AB=BC\left(gt\right)\)

\(\hat{BAD}=\hat{CAD}\left(gt\right)\)

\(AD\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)
 

b/ Từ a suy ra \(BD=CD\) (hai cạnh tương ứng).

2a. Xét △ABD và △EBD có:

\(AB=BE\left(gt\right)\)

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\left(gt\right)\)

\(BD\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\left(c.g.c\right)\)
 

b/ Từ a suy ra \(\hat{DEB}=90^o\) (góc tương ứng với góc A).
 

c/ Xét △ABI và △EBI có:

\(AB=BE\left(gt\right)\)

\(\hat{ABI}=\hat{EBI}\left(do\text{ }\hat{ABD}=\hat{EBD}\right)\)

\(BI\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta EBI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\hat{AIB}=\hat{EIB}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

Vậy: \(BD\perp AE\)