Bài 3 : Từ điểm A, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến (O). Kẻ đường kính CD của (O). AD cắt (O) tại E khác D. EO cắt BC tại I. Giả sử góc CAD = 45°. Cmr: EI = IO

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left(O\right)\). Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC của \(\left(O\right)\) ( B, C là các tiếp điểm ). Đường thẳng AO cắt dây BC tại H, cắt \(\left(O\right)\) tại hai điểm E và F ( AE < AF ). Vẽ đường kính BD của \(\left(O\right)\).

a) Chứng minh: OA song song CD.

b) Đường ED cắt đường thẳng BA, BC lần lượt tại M và K.

Chứng minh: \(MB^2=MD.ME\) và \(\hat{ABE}=\hat{EBK}\).

c) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng MF và BE.

Chứng minh: NH song song MK.

Cho nửa đường tròn \(O\) , đường kính AB = 2R. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn ( Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). lấy điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B). Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh: \(CD=AC+BD\) và △\(COD\) vuông.
b) Chứng minh: \(AC.BD=R^2\).
c) Gọi N là giao điểm AD và BC. Chứng minh: MN ⊥ AB.

Cho △\(ABC\) nhọn ( AB < AC ), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: 4 điểm \(B,C,F,E\) cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm \(O\) của đường tròn đó.
b) Tia AH cắt cạnh BC tại D. Gọi G là giao điểm của EF và BC. Chứng minh: \(\hat{HFD}=\hat{HBD}\) và \(GE.GF=GD.GO\).

Cho điểm A nằm ngoài \(\left(O,R\right)\), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC ( B và C là tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Kẻ đường kính BD của \(\left(O\right)\), AO song song CD. AD cắt \(\left(O\right)\) tại E. Chứng minh: \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\) và \(\cos\frac{\hat{EHD}}{2}=\frac{HE}{HB}\).

Cho hình vuông \(ABCD\), có cạnh là 6cm. Tính diện tích phần tô đậm? ( Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ).

Cho hai tiếp tuyến AB, AC của \(\left(O\right)\), ( B, C là hai tiếp điểm). AO cắt BC tại H. Vẽ đường kính BD. OA vuông góc BC tại H, M là trung điểm AH, BM cắt \(\left(O\right)\) tại N. Chứng minh: D, H, N thẳng hàng.

Cho AB, AC là tiếp tuyến \(\left(O\right)\) , bán kính R. Gọi K là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh: \(OA\) ⊥ \(BC\) và \(OA.OK=R^2\).

b) Vẽ đường kính BD của \(\left(O\right)\) , AD cắt \(\left(O\right)\) tại F. Chứng minh: BF ⊥ AD.

c) Gọi \(I\) là trung điểm FD, \(OI\) cắt BC tại T. Chứng minh: TD là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\) và 4 điểm \(F,K,O,D\) cùng thuộc 1 đường tròn.

d) Vẽ dây cung CE ( ∈ \(\left(O\right)\) ) ⊥ BD tại H. Chứng minh: \(HB^2+HD^2+HC^2+HE^2=4R^2\)

e) Cho \(OA=R\sqrt5\). Tính \(\frac{S.ABC}{S.BCE}=?\) và tính \(S.AFT\).

Từ điểm M nằm ngoài ( \(O,R\) ), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Đoạn thằng OM vương góc với AB tại H. Vẽ đường kính AD của ( \(O\) ), đoạn MD cắt ( \(O\) ) tại E.
a) Chứng minh: \(MH.MO=ME.MD\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm HE. Qua \(I\) vẽ đường thẳng vuông góc với HE cắt AB tại F. Chứng minh: F là trung điểm của BH.