Links:

Chứng minh $a^2+5b^2-(3a+b)\geq 3ab-5$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

Chứng minh a^2 + 5b^2 - (3a + b) ≥ 3ab - 5 - Toán học Lớp 8 - Bài tập Toán học Lớp 8 - Giải bài tập Toán học Lớp 8 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục

\(a^2+5b-\left(3a+b\right)\ge3ab-5\)

\(\Leftrightarrow2a^2+10b^2-6a-2b-6ab+10\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-6ab+9b^2\right)+\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3b\right)^2+\left(a-3\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a-3b=0\\a-3=0\\b-1=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=1\end{cases}}\)

Dễ thế này cũng hỏi nổi, LẠY @@

\(a^2+5b^2-\left(3a+b\right)\ge3ab-5\)

\(\Leftrightarrow2a^2+10b^2-2\left(3a+b\right)\ge6ab-10\)

\(\Leftrightarrow2a^2+10b^2-6a-2b-6ab+10\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(a^2-6ab+9b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-3b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrowđcpm\)

\(\sqrt{a^2+3a+5}\ge\frac{5a+13}{6}\Leftrightarrow a^2+3a+5\ge\frac{25a^2+130a+169}{36}\)

\(\Leftrightarrow36a^2+108a+180\ge25a^2+130a+169\Leftrightarrow11a^2-22a+11\ge0\)

\(\Leftrightarrow11\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\inℝ\)

Dấu = xảy ra khi a=1

Ta có:

\(\sqrt{a^2+3ab+5b^2}=\sqrt{\left(\frac{25a^2}{36}+\frac{130ab}{36}+\frac{169}{36}\right)+\frac{11}{36}\left(a^2-2ab+b^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{5a}{6}+\frac{13b}{6}\right)^2+\frac{11}{36}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5a+13b}{6}\)

Tương tự:\(\sqrt{b^2+3bc+5c^2}\ge\frac{5b+13c}{6};\sqrt{c^2+3ca+5a^2}\ge\frac{5c+13a}{6}\)

Khi đó:\(P=\sqrt{a^2+3ab+5b^2}+\sqrt{b^2+3bc+5c^2}+\sqrt{c^2+3ac+5a^2}\)

\(\ge\frac{5a+13b+5b+13c+5c+13a}{6}=\frac{18\left(a+b+c\right)}{6}=3\left(a+b+c\right)=9\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

Bài 1:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt$. Khi đó:

\(\frac{2a^2-3ab+5b^2}{2a^2+3ab}=\frac{2(bt)^2-3.bt.b+5b^2}{2(bt)^2+3bt.b}=\frac{b^2(2t^2-3t+5)}{b^2(2t^2+3t)}\)

$=\frac{2t^2-3t+5}{2t^2+3t}(1)$
\(\frac{2c^2-3cd+5d^2}{2c^2+3cd}=\frac{2(dt)^2-3.dt.d+5d^2}{2(dt)^2+3dt.d}=\frac{d^2(2t^2-3t+5)}{d^2(2t^2+3t)}=\frac{2t^2-3t+5}{2t^2+3t}(2)\)

Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.

Bài 2:

Từ $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow c^2=ab$. Khi đó:

$\frac{b^2-c^2}{a^2+c^2}=\frac{b^2-ab}{a^2+ab}=\frac{b(b-a)}{a(a+b)}$ (đpcm)

Bài 3:

Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt$

Khi đó:

$\frac{3a^6+c^6}{3b^6+d^6}=\frac{3(bt)^6+(dt)^6}{3b^6+d^6}=\frac{t^6(3b^6+d^6)}{3b^6+d^6}=t^6(*)$

Và:

$\frac{(a+c)^6}{(b+d)^6}=(\frac{bt+dt}{b+d})^6=t^6(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow $ đpcm.

1) \(\left(a+b\right)^2\)

\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\)

\(=a^2+ab+ab+b^2\)

\(=a^2+2ab+b^2\left(dpcm\right)\)

2) \(\left(a-b\right)^3\)

\(=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a^2-ab-ab+b^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=a^3-a^2b-2a^2+2ab^2+ab^2-b^3\)

\(=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\left(dpcm\right)\)

`a)` 

`(a+b)^2`

`=(a+b)(a+b)`

`=a^2+ab+ab+b^2`

`=a^2+2ab+b^2`

`->` ĐPCM

`b)` `(a-b)^3`

`=(a-b)(a-b)(a-b)`

`=(a^2-2ab+b^2)(a-b)`

`=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3`

`->` ĐPCM

trả lời vớ vẩn thế