Cho x > 0 , y > 0 và \(x+y\ge6\). Tìm GTNN của biểu thức P = 3x + 2y + \(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

Ta có : P = \(3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(\Rightarrow P=\left[\frac{6}{x}+\frac{3}{2}x\right]+\left[\frac{8}{y}+\frac{1}{2}y\right]+(\frac{3}{2})(x+y)\)

\(\Rightarrow6+4+\frac{3}{2}\cdot6\)

\(\Rightarrow A\ge19\)

Vậy A_min = 19 => x = 2 với y = 4

\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)

\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)

\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)

\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Câu trả lời trước bị sai nên làm lại.

Ta có:Q=\(\dfrac{2y+3x}{xy}+\dfrac{6}{3x+2y}=\dfrac{3x+2y}{6}+\dfrac{6}{3x+2y}\)vì xy=6

Đặt t=3x+2y => t\(\ge2\sqrt{2.y.3.x}\)=12

Theo bđt cô si và t \(\ge\)12 ta được :

Q=\(\left(\dfrac{t}{6}+\dfrac{24}{t}\right)-\dfrac{18}{t}\ge2\sqrt{\dfrac{t}{6}.\dfrac{24}{t}}-\dfrac{18}{t}=\dfrac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=2 và y=3

\(Q=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{6}{3x+2y}\\ Q=\dfrac{2y+3x}{xy}+\dfrac{6}{3x+2y}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm và thay xy=6 vào ta được

\(Q\ge2\sqrt{\dfrac{2y+3x}{6}\times\dfrac{6}{2y+3x}}\\ Q\ge2\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\left(3x+2y\right)^2\) =36 và xy=6

<=> x=2,y=3

1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có

 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)

\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)

\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)

Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được

\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)

2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)

Dấu"=" khi a = 4b

nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)

Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)

Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được

\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)

\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)

Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)

nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)

khi đó a + b = 1

mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow2P=6x+4y+\dfrac{12}{x}+\dfrac{16}{y}\\ \Leftrightarrow2P=\left(\dfrac{12}{x}+3x\right)+\left(\dfrac{16}{y}+y\right)+3\left(x+y\right)\\ \Leftrightarrow2P\ge2\sqrt{36}+2\sqrt{16}+3\cdot6=12+8+18=38\\ \Leftrightarrow P\ge19\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2=12\\y^2=16\\x+y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(2P=6x+4y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\)

\(=\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)+3\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{3x\cdot\frac{12}{x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{16}{y}}+3\cdot6=12+8+18=38\)( bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 6 )

=> P ≥ 19

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}3x=\frac{12}{x}\\y=\frac{16}{y}\\x+y=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy MinP = 19

Ta có: \(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)\)

Vì \(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}\left(x+y\right)\ge\frac{3}{2}.6=9\)

\(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=6;\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{8}{y}}=4\)

\(\Rightarrow P\ge9+6+4=19\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\\frac{y}{2}=\frac{8}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy GTNN của P là 19

Câu hỏi của KHANH QUYNH MAI PHAM - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo!