\(1,\\ a,A\left(2;1\right)\in\left(d_m\right)\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(m-1\right)+m+1}{2m-3}=1\\ \Leftrightarrow-2m+2+m+1=2m-3\\ \Leftrightarrow3m=6\Leftrightarrow m=2\\ b,\Leftrightarrow-\dfrac{m-1}{2m-3}>0\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{2m-3}< 0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\2m-3< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\2m-3>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1< m< \dfrac{3}{2}\\ c,\left(\Delta\right):x-2y-12=0\Leftrightarrow2y=x-12\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}x-6\\ \left(d_m\right)\text{//}\left(\Delta\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1-m}{2m-3}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{m+1}{2m-3}\ne-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{4}\)

\(2,\text{Gọi }M\left(x_0;y_0\right)\text{ là điểm cần tìm}\\ \Leftrightarrow y_0=\dfrac{1-m}{2m-3}x_0+\dfrac{m+1}{2m-3}\\ \Leftrightarrow y_0\left(2m-3\right)=x_0\left(1-m\right)+m+1\\ \Leftrightarrow x_0-mx_0+m+1-2my_0-3y_0=0\\ \Leftrightarrow m\left(1-x_0-2y_0\right)+\left(x_0-3y_0+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+2y_0=1\\x_0-3y_0=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=\dfrac{1}{5}\\y_0=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow M\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5}\right)\)

a, Gọi ptđt BC có dạng là y = ax + b ( a khác 0 ) 

\(\left\{{}\begin{matrix}6a+b=0\\b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\\b=3\end{matrix}\right.\)

Vậy ptđt BC có dạng y = -1/2x + 3 

Hoành độ giao điểm tm pt 

\(mx-2m+2=-\dfrac{1}{2}x+3\)

\(\Leftrightarrow mx+\dfrac{1}{2}x-2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(m+\dfrac{1}{2}\right)=2m+1\Leftrightarrow x=\dfrac{2m+1}{m+\dfrac{1}{2}}\)

\(\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}.\dfrac{2m+1}{m+\dfrac{1}{2}}+3\Leftrightarrow y=\dfrac{-\left(2m+1\right)}{2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)}+\dfrac{6\left(m+\dfrac{1}{2}\right)}{2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)}\)

\(=\dfrac{-2m-1+6m+3}{2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{4m+2}{2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{2m+1}{m+\dfrac{1}{2}}\)

Vậy d_m cắt BC tại \(A\left(\dfrac{2m+1}{m+\dfrac{1}{2}};\dfrac{2m+1}{m+\dfrac{1}{2}}\right)\)

1. Đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M\left(2;3\right)\) nên giá trị hoành độ và tung độ của \(M\) là nghiệm của phương trình đường thẳng trên, tức:

\(3=m\cdot2+m-6\Leftrightarrow m=3\left(TM\right)\)

2. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(\left(d\right):y=3x+2\), khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m-6\ne2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\m\ne8\end{matrix}\right.\Rightarrow m=3\left(TM\right)\)

3. Gọi \(P\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị \(m\).

Khi đó: \(mx_0+m-6=y_0\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)m-\left(y_0+6\right)=0\left(I\right)\)

Suy ra, phương trình \(\left(I\right)\) có vô số nghiệm, điều này xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\y_0+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-6\end{matrix}\right.\).

Vậy: Điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị \(m\) là \(P\left(-1;-6\right)\).

Gọi pt BC có dạng: \(y=ax+b\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0=6a+b\\3=a.0+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=3\\a=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}x+3\)

Pt hoành độ giao điểm BC và d:

\(-\dfrac{1}{2}x+3=mx-2m+2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x-2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\left(x-2\right)=0\Rightarrow x=2\Rightarrow y=2\)

Vậy \(d_m\) luôn cắt BC tại điểm A cố định có tọa độ \(A\left(2;2\right)\)

b. Ta có: \(OB=\left|x_B\right|=6;OC=\left|y_C\right|=3\)

Từ A kẻ AH vuông góc trục hoành và AK vuông góc trục tung

\(\Rightarrow AH=\left|y_A\right|=2\) ; \(AK=\left|x_A\right|=2\)

\(S_{OAC}=\dfrac{1}{2}AK.OC=\dfrac{1}{2}.2.3=3\) ; \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}AH.OB=6\)

\(S_{OBC}=\dfrac{1}{2}OB.OC=9\)

Giả sử \(d_m\) cắt cạnh OC tại 1 điểm D nằm giữa O và C

\(\Rightarrow S_{ACD}=S_{OAC}-S_{OAD}< S_{OAC}=3< \dfrac{1}{2}S_{OBC}=9\) (ktm)

\(\Rightarrow d_m\) phải cắt cạnh OB tại 1 điểm D nào đó nằm giữa O và B

Khi đó: \(S_{ABD}=\dfrac{1}{2}S_{OBC}=\dfrac{9}{2}\)

Mà \(S_{ABD}=\dfrac{1}{2}AH.BD\Rightarrow BD=\dfrac{2S_{ABD}}{AH}=\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow x_B-x_D=\dfrac{9}{2}\Rightarrow x_D=6-\dfrac{9}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow D\left(\dfrac{3}{2};0\right)\)

Do \(d_m\) qua D nên: \(\dfrac{3}{2}m-2m+2=0\Rightarrow m=4\)

Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$

$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$

Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$

Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$

$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu

$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại 

$BO=\sqrt{2}AO$

$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$

$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$

$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$