a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là trung trực của AM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: Xét tứ giác MEOF có

góc MEO=góc MFO=góc EOF=90 độ

nên MEOF là hình chữ nhật

=>EF=MO=R

Tự vẽ hình nhé !

Dễ dàng chỉ ra được \(\widehat{COD}=90^o\).

Khi đó \(\Delta COD\) vuông tại \(O\) có \(OM\perp CD\) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có :

\(CM.MD=MO^2=R^2\)

Theo BĐT Cô - si thì : \(CD=CM+MD\ge2.\sqrt{CM.MD}=2\sqrt{R^2}=2R\)

Dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa của cung AB.

a) Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: CM=CA(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (O) có 

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: DM=DB(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: CM+DM=CD(M nằm giữa C và D)

mà CM=CA(cmt)

và DM=DB(cmt)

nên CD=AC+BD(đpcm)

Xét (O) có 

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(gt)

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{AOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{BOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{COM}\)(cmt)

và \(\widehat{BOM}=2\cdot\widehat{DOM}\)(cmt)

nên \(2\cdot\widehat{COM}+2\cdot\widehat{DOM}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{COM}+\widehat{DOM}=90^0\)

hay \(\widehat{COD}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{COD}=90^0\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao ứng với cạnh huyền CD, ta được:

\(CM\cdot MD=OM^2\)

\(\Leftrightarrow CA\cdot BD=OM^2\)

mà OM=R

nên \(AC\cdot BD=R^2\)(đpcm)

c) Ta có: CA=CM(cmt)

nên C nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: OA=OM(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của AM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có:  DM=DB(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OM=OB(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BM(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM

hay OC⊥AM

mà OC cắt AM tại E(gt)

nên OC⊥AM tại E

hay \(\widehat{OEM}=90^0\)

Từ (3) và (4) suy ra OD là đường trung trực của MB

hay OD⊥MB

mà OD cắt MB tại F(gt)

nên OD⊥MB tại F

hay \(\widehat{OFM}=90^0\)

Xét tứ giác EMFO có

\(\widehat{OFM}=90^0\)(cmt)

\(\widehat{OEM}=90^0\)(cmt)

\(\widehat{EOF}=90^0\)(cmt)

Do đó: EMFO là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒EF=MO(Hai đường chéo của hình chữ nhật EMFO)

mà MO=R(gt)

nên EF=R(đpcm)

đây ko phải toán 1

a: góc OAC+góc OMC=180 độ

=>OACM nội tiếp

b: góc BOM=2*60=120 độ

=>góc BDM=60 độ

=>ΔBMD đều

\(S_{qMB}=\dfrac{pi\cdot R^2\cdot120}{360}=\dfrac{1}{3}\cdot pi\cdot R^2\)