CM BĐT
a/ \(\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) \(\forall a\)
b/ \(\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+1}}\ge4\) \(\forall a\)
Chứng minh rằng:
a) \(a+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\) \(\forall a>b>0\)
b) \(a+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\) \(\forall a>b>0\)
c) \(a+\dfrac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\) \(\forall a>b>0\)
chứng minh rằng :
a, x+2y+\(\dfrac{25}{x}\)+\(\dfrac{27}{y^2}\)\(\ge\) 19 ( \(\forall\)x,y \(\)> 0 )
b, \(x+\dfrac{1}{\left(x-y\right)y}\ge3\) ( \(\forall\)x>y>0 )
c,\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{16}{x-2}\ge13\left(\forall x>2\right)\)
d, \(a+\dfrac{1}{a^2}\ge\dfrac{9}{4}\left(\forall x\ge2\right)\)
e, a+\(\dfrac{1}{a\left(a-b\right)^2}\ge2\sqrt{2}\) ( \(\forall x>y\ge0\))
f, \(\dfrac{2a^3+1}{4b\left(a-b\right)}\ge3[\forall a\ge\dfrac{1}{2};\dfrac{a}{b}>1]\)
g, x+\(\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge3\left(\forall x>y\ge0\right)\)
h, \(2a^4+\dfrac{1}{1+a^2}\ge3a^2-1\)
cho các mệnh đề sau :
(I).a+\(\dfrac{9}{a}\)\(\ge6\) (a>0)
(II).\(\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge2\)
(III).\(\dfrac{\sqrt{ab}}{ab+1}\le\dfrac{1}{2}\left(ab\ge0\right)\)
(IV).\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\ge4\left(a,b>0\right)\)
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
I. Đúng do BĐT Cosi \(a+\dfrac{9}{a}\ge2.\sqrt{a.\dfrac{9}{a}}=6\)
II. Sai do \(\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+4}}\ge2+\dfrac{1}{a^2+4}>2\)
III. Đúng do BĐT Cosi \(\dfrac{\sqrt{ab}}{ab+1}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2}\)
IV. Đúng do BĐT BSC \(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2=4\)
Hai số a,b thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a,b>0\\\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)\ge4\end{matrix}\right.\)
Chứng minh \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge2\)
Ta có:
\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)
\(=a+b+2\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).
Chứng minh các mệnh đề sau
\(a,\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}\) \(\forall n\in N\) *
\(b,1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)
a: \(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)
Chứng minh BĐT: \(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge8\forall a,b,c\ne0\)
Lời giải
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge8\)
\(A=\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
\(A=\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right].\left[\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}-2\right)+2\right]\)
\(A=\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right].\left[\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2\right]\)Thừa nhận cần c/m câu khác: \(\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge0\forall x\ne0\)
\(\Rightarrow A\ge\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right].\left[\left(0\right)+2\right]=8\)
\(\Rightarrow A\ge8\forall_{a,b,c\ne0}\)=> dpcm
Đẳng thức khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|=1\\\left|b\right|=1\\\left|c\right|=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\pm1\\b=\pm1\\c=\pm1\end{matrix}\right.\) Không tin bạn thử a=b=c=-1<0 vào thử xem
Có một chút vần đề nha ĐK phải là a,b,c > 0 nhé
bài này ta sẽ chứng minh lần lượt \(a^2+\dfrac{1}{a^2};b^2+\dfrac{1}{b^2};c^2+\dfrac{1}{c^2}\)lớn hơn hoặc bằng 2
Ta sẽ giả sử
\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge2\)(2)
\(\Leftrightarrow a^2-2+\dfrac{1}{a^2}\ge0\Leftrightarrow a^2-2a\times\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2\ge0\)(luôn đúng) (1)
BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=1\)(*)
CMTT ta có : \(b^2+\dfrac{1}{b^2}\ge2\) (=) b = 1 (**)
\(c^2+\dfrac{1}{c^2}\ge2\) (=) c = 1 (***)
Nhân vế theo vế của (*) , (**) , (***) ta được
\(\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right).\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\left(c^2+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge2^3=8\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
a,b,c>0 nó là đề khác cái đề này a,b,c khác 0 Phan Cả Phát
Lời giải phải đúng với đề
Có thể cái đề này sai so với đề khác (trên mạng hoặc ở đâu đó, cái đó không quan trọng và không nên quan tâm)
p/s: Nội Hàm cái đề này không sai --> chẳng lý do gì lại sửa đề cả
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) \(e^x+\cos x\ge2+x-\dfrac{x^2}{2};\forall x\in\mathbb{R}\)
b) \(e^x-e^{-x}\ge2\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right);\forall x\ge0\)
c) \(8\sin^2\dfrac{x}{2}+\sin2x>2x;\forall x\in\) (\(0;\pi\)]
CM BĐT sau
a/ \(x^2+4y^2+3z^2+14\ge2x+12y+6z\)\(\forall x,y,z\)
b/ \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)\(\forall\)a,b,c
a ) \(x^2+4y^2+3z^2+14\ge2x+12y+6z\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+4y^2-12y+9+3z^2-6z+3+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y-3\right)^2+3\left(z-1\right)^2+1\ge0\)
\(\LeftrightarrowĐPCM.\)
b ) \(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\LeftrightarrowĐPCM.\)
a) \(x^2+4y^2+3z^2+14\ge2x+12y+6z\)
\(\Rightarrow x^2+4y^2+3z^2+14-2x-12y-6z\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2-12y+9\right)+3\left(z^2-2z+1\right)+1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(2y-3\right)^2+3\left(z-1\right)^2\ge-1\)
Xem lại đề
b)
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) *Đúng*
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c}}\ge\dfrac{8}{a+b+c}\)
cm BĐT
Thay \(a=b=c=0,25\)thì ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{0,25}}+\dfrac{1}{\sqrt{0,25}}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{0,25}}\approx9,657\)
\(\dfrac{8}{0,25+0,25+0,25}\approx10,667\)
Vậy đề sai