Bài 3:

Xét 2 \(\Delta\) \(AMO\) và \(BNO\) có:

\(\widehat{MAO}=\widehat{NBO}=90^0\left(gt\right)\)

\(OA=OB\) (vì O là trung điểm của \(AB\))

\(AM=BN\left(gt\right)\)

=> \(\Delta AMO=\Delta BNO\left(c-g-c\right)\)

=> \(\widehat{MOA}=\widehat{NOB}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\) (vì 2 góc kề bù)

=> \(\widehat{NOB}+\widehat{MOB}=180^0.\)

=> \(M,O,N\) thẳng hàng. (1)

Ta có: \(\Delta AMO=\Delta BNO\left(cmt\right)\)

=> \(OM=ON\) (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => \(O\) là trung điểm của \(MN\left(đpcm\right).\)

Bài 4:

Chúc bạn học tốt!

Giải:

a) Xét \(\Delta ACD,\Delta ABE\) có:

AC = AB ( gt )

\(\widehat{A}\): góc chung

AD = AE ( gt )

\(\Rightarrow\Delta ACD=\Delta ABE\left(c-g-c\right)\) ( đpcm )

b) Vì \(\Delta ACD=\Delta ABE\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) ( góc t/ứng )

hay \(\widehat{IBD}=\widehat{ICE}\) ( đpcm )

Vậy...

Hình:

Giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A có AH là đường trung tuyến

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{1}{2}BC=HC\)

Suy ra tam giác HAC cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{HCA}\) (1)

Lại có: Tam giác ABC cân tại A có AH là đường trung tuyến

Suy ra AH đồng thời là đường phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{HAD}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{HCA}=\widehat{HAD}\)

Xét tam giác ADH và tam giác CEH, có:

\(AD=CE\left(gt\right)\)

\(AH=HC\) (Tam giác HAC cân tại H)

\(\widehat{HCA}=\widehat{HAD}\) (Chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta ADH=\Delta CEH\left(c.g.c\right)\)

b) Có: \(\widehat{HEA}+\widehat{HEC}=180^0\) (Hai góc kề bù)

Mà \(\widehat{HEC}=\widehat{HDA}\) (\(\Delta ADH=\Delta CEH\))

\(\widehat{HEA}+\widehat{HDA}=180^0\)

Xét tứ giác ADHE, có:

\(\widehat{DAE}+\widehat{HEA}+\widehat{HDA}+\widehat{DHE}=360^0\) (Tổng các góc của tứ giác)

\(\Leftrightarrow90^0+180^0+\widehat{DHE}=360^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{DHE}=360^0-180^0-90^0=90^0\)

Vậy ...

Bài 2:

a) Xét 2 \(\Delta\) \(ABM\) và \(CNM\) có:

\(AM=CM\) (vì M là trung điểm của \(AC\))

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMN}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(BM=NM\) (vì M là trung điểm của \(BN\))

=> \(\Delta ABM=\Delta CNM\left(c-g-c\right).\)

=> \(AB=CN\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCM}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{BAM}+\widehat{NCM}=180^0\) (vì 2 góc kề bù)

Mà \(\widehat{BAM}=90^0\left(gt\right)\)

=> \(90^0+\widehat{NCM}=180^0\)

=> \(\widehat{NCM}=180^0-90^0\)

=> \(\widehat{NCM}=90^0.\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCM}=90^0\)

=> \(CN\perp AB.\)

b) Xét 2 \(\Delta\) \(AMN\) và \(CMB\) có:

\(AM=CM\) (như ở trên)

\(\widehat{AMN}=\widehat{CMB}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(MN=MB\) (như ở trên)

=> \(\Delta AMN=\Delta CMB\left(c-g-c\right)\)

=> \(AN=BC\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{ANM}=\widehat{CBM}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(AN\) // \(BC.\)

Chúc bạn học tốt!

Bài 1 a)

b)

C)