a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(m-5\right)\)

=4m^2-8m+4-4m+20

=4m^2-12m+24

=(2m-3)^2+15>0

=>Phương trình luôn có nghiệm

b: x1+x2=2m-2; x1x2=m-5

x1+x2=2m-2; 2x1x2=2m-10

=>x1+x2-2x1x2=2m-2-2m+10=8 là hệ thức ko phụ thuộc vào m

\(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-8m+8\)

\(=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2>=0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-2m+1}{2}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2+2x_1x_2\)

\(=\dfrac{-2m+1}{2}+\dfrac{2\left(m-1\right)}{2}\)

\(=\dfrac{-2m+1+2m-2}{2}=\dfrac{-1}{2}\)

=>\(x_1+x_2+2x_1x_2\) là hệ thức cần tìm

\(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\left(1\right)\)

a, \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+>0\forall m\)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt 

b, Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì : 

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+1>0\left(luôn-đúng\right)\\2\left(m+1\right)>0\\2m>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\m>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m>0\)

c, Theo viét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\left(2\right)\\x_1x_2=2m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ vế theo vế (2) cho (3) được : \(x_1+x_2-x_1x_2=2m+2-2m=2\)

Kết luận ....

Ptr có `2` nghiệm phân biệt `<=>\Delta' > 0`

      `<=>(m+1)^2-m+2 > 0<=>m^2+2m+1-m+2 > 0`

                   `<=>m^2+m+3 > 0` (LĐ `AA m`)

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=m-2):}`

                        `<=>{(x_1+x_2=2m+2),(2x_1.x_2=2m-4):}`

              `=>x_1+x_2-2x_1.x_2=6`

- Xét phương trình đề cho có :

\(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-2m+1-m+2\)

\(=m^2-3m+3\ge\dfrac{3}{4}>0\)

- Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\2x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1+x_2-2x_1x_2=2m-2-2m+4=2\)

a) Ta có: △' = [-(m+1)]² - m + 2 

                   = m² + 2m + 1 - m + 2

                   = m² + m + 1

                   = (m + \(\dfrac{1}{2}\))² + \(\dfrac{3}{4}\) ≥ \(\dfrac{3}{4}\) > 0 ∀m

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Theo hệ thức Viet có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\2x_1.x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

=> x₁ + x₂ - 2x₁x₂ = 2m + 2 - 2m + 4 => x₁ + x₂ - 2x₁x₂ = 6

Đáp án D

b) Theo định lí Vi-et ta có:

⇒ 3( x 1  + 2  ) + x 1 x 2  = -6(m + 5) + 6m - 30

= -6m - 30 + 6m - 30 = -60

Vậy hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m là

3( x 1  + x 2  ) +  x 1 x 2

a) PT có 2 nghiệm dương

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\P>0\\S>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m+3\right)^2-\left(4m-1\right)\ge0\\4m-1>0\\2\left(m+3\right)>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2+2m+10\ge0\\m>\frac{1}{4}\\m>-3\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\)

b) vì \(\Delta'>0\)nên PT đã cho luôn có hai nghiệm x₁,x₂ với mọi m.

Áp dụng hệ thức Vi-et,ta có :

\(\hept{\begin{cases}S=2\left(m+3\right)\\P=4m-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2S=4m+12\\P=4m-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2S-P=13\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=13\)