Ta có :

<=> u³ - 3u - 2 \(\le\) v³ - 3v + 2 <=> ( u + 1 )²( u - 2 ) \(\le\) ( v - 1 )²( v + 2 )

Đặt x = u + 1 , y = v -1 thì :

BĐT <=> x³ - 3x² \(\le\) y³ + 3y² <=> x³ - y^{3 \(\le\)} 3(x² + y²)

Ta có : x - y = ( u - v ) + 2 \(\le\)2

=> ( x - y ) ( x² + xy + y² ) \(\le\)2( x² + xy + y²) = 2(x² + y²) + 2xy \(\le\) 2(x² + y²) + ( x² + y² ) = 3(x² + y² ) => x³ - y³ \(\le\) 3(x² +y² ) ( đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi <=> x = y = 0 <=> u = -1 ; v = 1

Gợi ý: u – uv + v – v 2  = (1 – v)(u + z).

Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế trái

a) VT = 3 u 2  + 9u + 27 – ( u 3  – 32 u 2  + 9u) = 27 –  u 3  = VP (đpcm).

b) VT = ( t 2  – 4)( t 2  + 4) =  t 4  – 16 = VP. (đpcm).

\(\left|\sqrt{3}sinx+cosx\right|=2\left|\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinxx+\dfrac{1}{2}cosx\right|=2\left|sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right|\le2\)

Đề bài sai 

\(\left(a^2-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow1.\left(a^4+1\right)\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{a^2}{a^4+1}\) (đpcm)

\(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)                                     (1)

Mà theo BĐT Cauchy có

\(a^4+1\ge2\sqrt{a^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

Suy ra BĐT (1) luôn đúng

suy ra đề bài luôn đúng

ta có \(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\)

⇔ 2a²≤ a⁴+1

⇔ a⁴+1 ≥ 2a²

⇔ a⁴-2a²+1≥0

⇔(a²-1)² ≥ 0 (luôn đúng )

vậy \(\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}\); với a =1 hoặc a= -1 thì dấu bằng xảy ra

\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\) ( vì \(a+b\ge2\) )

\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+a^3b+b^4\le2a^4+2b^4\)

\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b\le a^4+b^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (1)

Ta thấy \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)+\frac{3}{4}b^2+\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall ab\)

Nên (1) luôn đúng với mọi a;b

Vậy \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)

Câu 4:

a) C/m tương đương

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) => luôn đúng

=> \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrowđpcm\)

b) \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Áp dụng BĐT: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)

+) \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ba}{c}=b\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\ge2b\)

+) \(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{cb}{a}=c\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2c\)

+) \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}=a\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge2a\)

Cộng vế vs vế ta có:

\(2\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\Rightarrowđpcm\)

c) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có:

\(12^2=\left(3a+5b\right)^2\ge4.3a.5b=60ab\)

=> \(ab\le\dfrac{12}{5}\)

Vậy GTLN của P là \(\dfrac{12}{5}\)

Dấu ''=" xảy ra khi \(3a=5b\), từ đó ta có hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}3a=5b\\3a+5b=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

Câu 10:

a) \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a^2-b^2\right)\le0\) => luôn đúng

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2a^2+2b^2\Rightarrowđpcm\)