Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)
Cho tam giác ABC có 2 cạnh là a, b, c có chu vi bằng 2.
CMR : \(\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)
Lời giải:
Đặt biểu thức là $A$
Vế đầu tiên:
Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)\)
Thực hiên khai triển:
\(abc\geq 8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ac)-8\) \(\Rightarrow 2abc\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
Do đó:
\(A=a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow A\geq (a+b+c)^2-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 4-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)\)
Mà theo hệ quả của BĐT Am-Gm:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{20}{9}-\frac{2}{9}.\frac{4}{3}=\frac{52}{27}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vế sau:
Ta có: \(A<2\Leftrightarrow 2A<4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+4abc<4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc< 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+8abc<2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+2abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\)
\(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c^2(b+c-a)>0\)
\(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(a+b-c)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-c)[(c^2-(a-b)^2]>0\)
BĐT trên luôn đúng do với $a,b,c$ là ba cạnh tam giác thì \(a+b>c\) và \(c>|a-b|\)
Do đó ta có đpcm.
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và có chu vi là 2. Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)
Ta có:
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)
\(\Leftrightarrow a< 1\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)
\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)
Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a + b + c = 2 .Chứng minh rằng : \(\frac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc<2.\)
Cho a, b ,c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)
Từ gt suy ra a < b + c nên 2a < a + b + c = 2
\(\Rightarrow a< 1\).
Chứng minh tương tự: \(b< 1;c< 1\).
Do đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\Leftrightarrow abc< ab+bc+ca-1\) (Do a + b + c = 2)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-1\right)=\left(a+b+c\right)^2-2=2\) (đpcm).
Cho tam giác ABC có ba cạnh a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}=\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
\(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\) (đpcm)
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
⇒ a2 + b2 + c2 = 2bc.cosA + 2ac.cosB + 2ab.cosC
⇒ VT = \(\dfrac{2bc.cosA}{2abc}+\dfrac{2ab.cosC}{2abc}+\dfrac{2ac.cosB}{2abc}\)
⇒ VT = \(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng:
\(\frac{3}{2}< a^2+b^2+c^2+2abc\)
Câu3 (2 điểm):
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2.
Chứng minh: (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) - 2abc > 2
b) Chứng minh nếu a, b, c và a', b', c' là độ dài các cạnh của hai tam giác
đồng dạng thì: aa' + bb' + cc' = (a + b + c) (a' + b' + c')
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2.
Chứng minh: (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) - 2abc > 2
a^2+b^2+c^2+2ab+2cb+2ac-a^2-b^2-c^2-2abc>2
2ab+2ca+bc-2abc>2
sao lại từ phần cần chứng minh nhân ra vậy.
Mà bạn làm mình ko hiểu
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rắng: a2+b2+c2+2abc <2
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)
gthiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)
đúng nha