ta có MNPQ là hình thang=>MN//PQ

mà \(=\angle\left(NMP\right)=\angle\left(MNQ\right)=>\angle\left(NQP\right)=\angle\left(MPQ\right)\)

=>tam giác MNO cân tại O=>MO=NO

=>tam giác QOP cân tại O=>OQ=Op

=>MO+OP=NO+OQ=>NQ=MP

=>MNPQ là hình thang cân

\(=>\angle\left(M\right)=\angle\left(N\right)\left(1\right)\)

\(\angle\left(Q\right)=\angle\left(P\right)\left(2\right)\)

mà EF//PQ=>EF//MN

=>MNFE là hình thang(3)

từ (1)(3)=>MNFE là hình thang cân

=>EFPQ là hình thang(4)

(2)(4)=>EFPQ là hình thang cân

Ta có: \(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)

\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)

mà \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

Xét ΔOMN có \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên ΔOMN cân tại O

Xét ΔOPQ có \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

nên ΔOPQ cân tại O

Ta có: OM+OP=MP

ON+OQ=QN

mà OM=ON

và OP=OQ

nên MP=QN

Hình thang MNPQ có MP=QN

nên MNPQ là hình thang cân

Suy ra: \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\) và \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

Hình thang EMNF có \(\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\)

nên EMNF là hình thang cân

Hình thang EQPF có \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)

nên EQPF là hình thang cân

b: Xét hình thang MNPQ có EF//QP

nên ME/MQ=NF/NP(1)

Xét ΔMQP có EO//QP

nên EO/QP=ME/MQ(2)

Xét ΔNQP có OF//QP

nên OF/QP=NF/NP(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OE/QP=OF/QP

hay OE=OF

Lời giải:

$S_{MNQ}=S_{MNP}$ (do chiều cao bằng nhau và chung đáy)

$\Rightarrow S_{MQK}=S_{NKP}=15$ (cm²)

Kẻ đường cao $NH$ xuống $MP$, đường cao $QT$ xuông $MH$

\(\frac{S_{MNP}}{S_{MQP}}=\frac{MN}{PQ}=\frac{3}{5}\)

\(\frac{S_{MNP}}{S_{MQP}}=\frac{NH}{QT}\)

\(1=\frac{S_{NPK}}{S_{MQK}}=\frac{NH\times PK}{QT\times MK}\Rightarrow \frac{NH}{QT}=\frac{MK}{PK}\)

Từ 3 điều trên suy ra $\frac{MK}{PK}=\frac{3}{5}$

$\frac{S_{MNK}}{S_{NPK}}=\frac{MK}{PK}=\frac{3}{5}$

$S_{MNK}=\frac{3}{5}\times S_{NPK}=\frac{3}{5}\times 15=9$ (cm²)

$\frac{S_{MQK}}{S_{PQK}}=\frac{MK}{PK}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow S_{PQK}=\frac{5}{3}\times S_{MQK}=\frac{5}{3}\times 15=25$ (cm²)

Diện tích hình thang:

$15+15+9+25=64$ (cm²)

Hình vẽ:

a: Xét tứ giác MNKP có

MN//KP

MP//NK

=>MNKP là hình bình hành

=>MP=NK

mà MP=NQ

nên NK=NQ

=>ΔNKQ cân tại N

b: MNKP là hbh

=>góc K=góc NMP

=>góc K=góc MPQ

=>góc MPQ=góc NQP

Xét ΔMQP và ΔNPQ có

MP=NQ

góc MPQ=góc NQP

QP chung

=>ΔMQP=ΔNPQ

c: ΔMQP=ΔNPQ

=>góc MQP=góc NPQ

=>MNPQ là hình thang cân

Ta có: \(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)

\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)

mà \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

Xét ΔOMN có \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên ΔOMN cân tại O

Suy ra: OM=ON

Xét ΔOQP có \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

nên ΔOQP cân tại O

Suy ra: OQ=OP

Ta có: OM+OP=MP

ON+OQ=NQ

mà OM=ON

và OP=OQ

nên MP=NQ

Xét hình thang MNPQ có MP=NQ

nên MNPQ là hình thang cân

Ta có: \(\widehat{OMN}=\widehat{OPQ}\)

\(\widehat{ONM}=\widehat{OQP}\)

mà \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

Xét ΔOMN có \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

nên ΔOMN cân tại O

Xét ΔOQP có \(\widehat{OPQ}=\widehat{OQP}\)

nên ΔOQP cân tại O

Ta có: MP=MO+OP

NQ=NO+OQ

mà MO=NO

và OP=OQ

nên MP=NQ

Xét hình thang MNPQ có MP=NQ

nên MNPQ là hình thang cân

Ta có: ΔNMP=ΔMNQ

=> MP=NQ

Mà MNPQ là hthang

=> MNPQ là hthang cân

Ta có: EF//QP

=> FEQP là hthang

Mà \(\widehat{EQP}=\widehat{FPQ}\)(ABCD là hthang cân)

=> FEQP là hthang cân

Ta có: EF//QP

Mà QP//MN(ABCD là hthang cân)

=> EF//MN

=> MNFE là hthang

Mà \(\widehat{EMN}=\widehat{MNF}\)(ABCD là hthang cân)

=> MNFE là hthang cân

a: góc FEQ=góc FMQ=90 độ

=>FMEQ nội tiếp

Tam I là trung điểm của FQ