Cho x,y >0 thỏa mãn: \(xy+\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=\sqrt{2018}\)
Tính \(Á=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\)
Cho 2 số thực a, b thỏa mãn xy + \(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=1\)
CMR: \(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=0\)
Cho x,y dương thỏa mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2>=0\)
CMR \(xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)+x^2\left(\sqrt{x}-1\right)+y^2\left(\sqrt{y}-1\right)>=0\)
VẬy bạn giải ra cho mọi người xem được ko?
Lớn hơn hoặc bằng kí hiệu trong Latex là \geq nha!
Cho x;y > 0; x,y thỏa mãn \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\). Tính:
\(P=\sqrt{x^2+y^2-\sqrt{2\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+2}+xy\)?
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1-y}{1+y}\)
\(P=\sqrt{x^2+y^2-\sqrt{2\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+2}+xy\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^2+y^2-\sqrt{2\left(\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+2}+\left(\frac{1-y}{1+y}\right)y\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^2+y^2-2.\frac{y^2+1}{y+1}+2}+\left(\frac{1-y}{1+y}\right)y\)
\(=\sqrt{\left(\frac{y^2+1}{y+1}\right)^2}+\left(\frac{1-y}{1+y}\right)y\)
\(=\frac{y^2+1}{y+1}+\left(\frac{1-y}{1+y}\right)y=1\)
Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \(xy+yz+xz=1\). Hãy tính giá trị biểu thức: \(A=x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Ta có:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
TH1: x,y,z <0
\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)
TH2: x,y,z>0
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)
Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)
\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)
Tương tự như thế, ta được
\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.
cho x,y thỏa mãn :
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=2\)
Tính :
\(Q=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\)
Công thức tổng quát:
Áp dụng vào bài toán thì ta có Q=0.75
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=2\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=2\sqrt{x^2+1}-2x\left(2\right)\)
Mặt khác: \(\left(1\right)\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{y^2+1}-2y\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế \(\left(2\right);\left(3\right)\) ta được: \(x=-y\)
Khi đó: \(Q=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}=-y\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{y^2+1}=0\)
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiên:
1) \(\left(x+2\right)\left(y+2\right)=3\left(x^2+y^2+\sqrt{xy}\right)\)
2) \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^3=4\left(x^3+y^3\right)\)
CMR: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\)
Với x,y >0 thỏa mãn :\(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\sqrt{2018}\)
Tính S=\(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
cho x,y dương thỏa mãn
\(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\sqrt{2000}\)
tính S=\(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
\(\sqrt{2000}\)=\(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)
\(\Rightarrow2000=x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}\)
=\(x^2y^2+1+x^2+y^2+x^2y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x^2y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2000-1=1999\)
ma \(S^2=x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)
=\(x^2+x^2y^2+y^2+x^2y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\)
=\(x^2+y^2+2x^2y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\) =\(1999\Rightarrow S=\sqrt{1999}\)
Cho x,y là hai số thực thỏa mãn xy+\(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\) =1
Tính giá trị của biểu thức M=(x+\(\sqrt{1+y^2}\))(y+\(\sqrt{1+x^2}\))
Lời giải:
$xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1-xy$
$\Rightarrow (1+x^2)(1+y^2)=(1-xy)^2$ (bp 2 vế)
$\Leftrightarrow x^2+y^2=-2xy$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=0\Leftrightarrow x=-y$.
Khi đó:
$M=(x+\sqrt{1+(-x)^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)$
$=1+x^2-x^2=1$