Để  y đồng biến trên R thì 

\(2m^2-4m+7>0\)

<=> \(2\left(m^2-2m+1\right)+5>0\)

<=> \(2\left(m-1\right)^2+5>0\)( Phương trình có ngiệm với mọi m)

Vậy hàm số luôn đồng biến trên R

Ta có:

1m² - 4m + 7 = 2(m² - 2m + 1) + 4

= 2(m - 1)² + 4 > 0 với mọi m

Vậy y luôn đồng biến trên R với m

\(2m^2-4m+7\)

\(=2m^2-4m+2+5\)

\(=2\left(m^2-2m+1\right)+5\)

\(=2\left(m-1\right)^2+5>=5>0\forall m\)

Do đó: Hàm số \(y=\left(2m^2-4m+7\right)x+3m^2-m-1\) luôn đồng biến trên R

\(y'=3x^2-2\left(m+1\right)x-\left(2m^2-3m+2\right)\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2+3\left(2m^2-3m+2\right)=7\left(m^2+m+1\right)>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow y'=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Bài toán thỏa mãn khi: \(x_1< x_2\le2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge0\\x_1+x_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-\left(2m^2-3m+2\right)}{3}-\dfrac{4\left(m+1\right)}{3}+4\ge0\\\dfrac{2\left(m+1\right)}{3}< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m^2-m+6\ge0\\m< 5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-2\le m\le\dfrac{3}{2}\)

Gia su \(x_1< x_2\)

\(\Rightarrow x_1-x_2< 0\left(1\right)\)

Ta co:

\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(3m^2-7m+5\right)x_1-2011-\left(3m^2-7m+5\right)x_2+2011=\left(x_1-x_2\right)\left(3m^2-7m+5\right)\)Vi la chung minh dong bien nen xet

\(3m^2-7m+5>0\)

Dat \(g\left(m\right)=3m^2-7m+5\)

Ta lai co:

\(\Delta=\left(-7\right)^2-4.3.5=-11< 0\)

Theo dinh li dau tam thuc bac hai thi \(g\left(m\right)\)cung dau voi he so 3

\(\Rightarrow3m^2-7m+5>0\left(2\right)\left(\forall m\right)\)

Tu \(\left(1\right)\)va \(\left(2\right)\)suy ra;

\(\left(x_1-x_2\right)\left(3m^2-7m+5\right)< 0\)

Ma \(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(x_1-x_2\right)\left(3m^2-7m+5\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

Vay ham so \(y=f\left(x\right)=\left(3m^2-7m+5\right)x-2011\)dong bien voi moi m

@MaiLink thanh you bạn nha =)

Hàm số có dạng  y=ax+ b   có :

a= m²+4m+5=(m²+4m+4)+1=(m+2)²+1 >0 với mọi m 

Vậy hàm số là hàm số bậc nhất  đồng biến

Do A là điểm cố định mà ĐTHS luôn đi qua nên: với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m^2+m\right)x_0^2-\left(3m^2+4m-2\right)x_0+2m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2\left(x_0^2-3x_0+2\right)+m\left(x_0^2-4x_0\right)+2x_0-y_0=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0^2-3x_0+2=0\\x_0^2-4x_0=0\\2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\) 

Hệ trên vô nghiệm nên ko tồn tại điểm cố định mà ĐTHS luôn đi qua

Ta có 

m² + m + 1 = (m² + m + \(\frac{1}{4}\)) + \(\frac{3}{4}\)

= \(\frac{3}{4}+\left(m+\frac{1}{2}\right)^2>0\)

Hàm số này có hệ số a luôn luôn dương với mọi m nên hàm số đồng biến trên R với mọi m

thanks pạn na!!